李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程（英語：）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：

AXA^{H}-X+Q=0

其中 $Q$ 為埃尔米特矩阵， $A^{H}$ 為 $A$ 的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是

AX+XA^{H}+Q=0

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。

在穩定性中的應用

在以下的定理中， $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ，且 $P$ 和 $Q$ 是對應矩陣。而 $P>0$ 的意思是指 $P$ 矩陣為正定矩陣。

定理（連續時間版本）：給定任意 $Q>0$ ，存在唯一 $P>0$ 滿足 $A^{T}P+PA+Q=0$ 的充份必要條件是線性系統 ${\dot {x}}=Ax$ 是全域漸近穩定。二次函數 $V(z)=z^{T}Pz$ 是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。

定理（離散時間版本）：給定任意 $Q>0$ ，存在唯一 $P>0$ 滿足 $A^{T}PA-P+Q=0$ 的充份必要條件是線性系統 $x(k+1)=Ax(k)$ 是全域漸近穩定。 $z^{T}Pz$ 為其李亞普諾夫函數。

求解的計算層面

有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法[1]，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法[2]。

解析解

定義 $\operatorname {vec} (A)$ （向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而 $A\otimes B$ 是 $A$ 和 $B$ 的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣 $A$ 穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

離散時間

利用 $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ 的結果，可以得到

(I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)

其中 $I_{n^{2}}$ 為可相乘的單位矩陣[3]。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到 $\operatorname {vec} (X)$ 。再將各列重新整理，即可得到 $X$ 。

而且，若 $A$ 穩定，解 $X$ 也可以表示為

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

。

連續時間

再利用克罗内克积和 $\operatorname {vec} (A)$ 運算子，可以得到矩陣方程

(I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,

其中 ${\bar {A}}$ 是將 $A$ 各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若 $A$ 穩定，解 $X$ 也可以表示為

X=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }Qe^{A^{H}\tau }d\tau

.

相關條目

參考資料

Kitagawa, G. . International Journal of Control. 1977, 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266.
Bartels, R. H.; Stewart, G. W. . Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
Hamilton, J. . Princeton University Press. 1994. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.

外部連結

Online Lyapunov equation solver

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.