西爾維斯特方程

利用克罗内克积以及向量化量子${\displaystyle \operatorname {vec} }$，可以改寫西爾維斯特方程為

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

其中${\displaystyle I_{k}}$為${\displaystyle k\times k}$單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為${\displaystyle mn\times mn}$維的線性系統[3]。

命题

假定複數的${\displaystyle n\times n}$矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，西爾維斯特方程針對任意${\displaystyle C}$有唯一解${\displaystyle X}$，若且唯 若${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換${\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}}$，${\displaystyle X\mapsto AX+XB}$.

(i)假設${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 ${\displaystyle f(z)}$和${\displaystyle g(z)}$的最大公因式為${\displaystyle 1}$，因此存在複數多項式${\displaystyle p(z)}$和${\displaystyle q(z)}$，使得${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}$。依照Cayley–Hamilton定理，${\displaystyle f(A)=0=g(-B)}$；因此${\displaystyle g(A)q(A)=I}$。令${\displaystyle X}$為${\displaystyle S(X)=0}$的解，則${\displaystyle AX=-XB}$，重複上述作法，可得${\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}$。因此依照秩－零化度定理，${\displaystyle S}$是可逆的，因此針對所有的${\displaystyle C}$都存在唯一的解${\displaystyle X}$。

(ii) 相對的，若假設${\displaystyle s}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$的共同特徵值，則${\displaystyle {\bar {s}}}$也是${\displaystyle A^{H}}$的特徵值。存在非零向量 ${\displaystyle v}$和${\displaystyle w}$使得${\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w}$以及${\displaystyle Bv=-sv}$。選擇${\displaystyle C}$使得${\displaystyle Cv=w}$，則${\displaystyle AX+XB=C}$沒有解${\displaystyle X}$，考虑 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle }$，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0}$。

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$和${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）[4]。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中[5]。

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法將矩陣${\displaystyle A}$和矩陣${\displaystyle B}$轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算[6]，計算複雜度是${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$個數學運算。也可以參考其中的sylvester函數[7][8]。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解[9]。

• 李亞普諾夫方程
• 代數Riccati方程

• Sylvester, J. . C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116.
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. . Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. . Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. . Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. . IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
• Birkhoff and MacLane. . Macmillan. 1965: 213, 299.