李氏括号

在一流形M上的所有平滑向量場X 可以視為作用在C^∞(M)的平滑函數 微分算子。的確，每個向量場 X 可成為在C^∞(M) 上的微分算子（导子），因此可定義 X(f) 的函數，計算函數在方向X(p)上點p的f值方向导数，更進一步，於C^∞(M)的任意微導都是源於唯一的平滑向量場X。

一般來說，任意兩微導 ${\displaystyle \delta _{1}}$ 與${\displaystyle \delta _{2}}$的 交換子 ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ 亦是微導，當中 ${\displaystyle \circ }$ 為算子之組合。${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號：

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$.

令${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ 為關乎向量場 X 的流 及 D 表示切線圖導數算子（tangent map derivative operator），那麼在點x ∈ M的 X 與Y 的李括號可以定義為 李导数：

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\$ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}

這也測量了連續方向的failure of the flow ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$ 至點 x:

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

雖上述李括號的定義為內在的（和流形M上的座標選擇無關)，但在實務上常常會想計算特定坐標系${\displaystyle \{x^{i}\}}$下的李氏括号。可以令${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$，為切線束的相關局部基底，使得對平滑函數${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$而言，一般向量場能寫成 ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$與 ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$。因此李括號可由以下方式計算：

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

若 M 是Rⁿ的某開子集，那麼向量場X 與 Y 可以寫成由平滑函數${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ 與${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$形式，且李括號${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ 的表示式如下： ${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

此處之 ${\displaystyle J_{Y}}$ 與 ${\displaystyle J_{X}}$ 是 n×n 雅可比矩阵 乘上 n×1 欄向量 X 與 Y。