黎納-維謝勢

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為${\displaystyle q\,\!}$，隨著時間${\displaystyle t\,\!}$而改變的運動軌道為${\displaystyle \mathbf {w} (t)\,\!}$。設定向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!}$為從帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!}$到檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的分離向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!}$。

則黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分別以方程式表達為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是真空電容率，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是帶電粒子的移動速度，${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!}$。

雖然黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的時間參數是${\displaystyle t\,\!}$，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$和速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$都是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$時的數值：

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!}$。

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$與推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$；

其中，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$和${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，${\displaystyle {\mathcal {V}}'\,\!}$是積分的體空間，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$是微小體元素，${\displaystyle {\mathfrak {R}}\,\!}$向量還是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式，

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由於狄拉克δ函數${\displaystyle \delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!}$的積分會從${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$的可能值中，挑選出當${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由於推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$跟三個變數${\displaystyle t\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法[4]。設定變數${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$。那麼，其雅可比行列式${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$為

${\displaystyle {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!}$。

行列式內分量很容易計算，例如：

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$、

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

${\displaystyle {\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!}$。

所以，推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式變為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!}$。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作${\displaystyle S^{\prime }}$。在${\displaystyle S^{\prime }}$系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。[5][6]^:165ff

${\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle A'=0}$。

标势和矢势从${\displaystyle S^{\prime }}$系到${\displaystyle S}$系的变换满足洛仑兹变换：

${\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}$、

${\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}$；

其中，${\displaystyle \gamma }$是洛仑兹因子，${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$。

代入后可以得到：

${\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}$。

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$和${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$

将${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$的表达式代入即得到黎納-维谢势。

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!}$。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。[5]

從黎納-維謝勢，可以計算電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$。

求得的電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$分別為[7]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}[(c^{2}-v^{2})\mathbf {u} +{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )]\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ;

其中，向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$設定為${\displaystyle c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!}$，帶電粒子的加速度是${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!}$。

檢查電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當${\displaystyle v\ll c\,\!}$，粒子速度超小於光速時，${\displaystyle \mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!}$，這項目會趨向庫侖方程式：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!}$。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。