馬克士威方程組

高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷數量之間的關係。[8]^:190-195

根據高斯磁定律，磁場線沒有初始點也沒有終止點，而是形成迴圈或延伸到無窮遠。示意圖展示由流動於圓環導體的電流所形成的磁場線。

高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）並不存在於宇宙。在實驗方面，物理學者迄今仍尚未發現磁單極子存在的明確證據。[9]由物質產生的磁場是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流迴路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負磁荷，其淨磁荷為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，也必須從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，磁場是一個螺線向量場。[8]^:201-203

部分学者[5]^:237-238[6]^:321认为这个定律没有名字或称之为无自由磁单极子定律。

法拉第感應定律描述時變磁場怎樣感應出電場。電磁感應是許多發電機的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵會產生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉迴圈因而感應出電流。[10]^:134。[6]^:294-300

馬克士威-安培定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠電流（最初安培定律描述的方法）產生，另一種是靠隨時間變化的電場（馬克士威修正項描述的方法）產生。在電磁學裏，馬克士威修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由於法拉第感應定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，如果時變電場恰好產生變磁場，則根據這兩個方程式，這種相互產生的電場和磁場（即電磁波）將可以自我持續在空間里傳播（更詳盡內容，請參閱條目電磁波方程式）。[8]^:199-201

微觀表述[4]^:15

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle {\scriptstyle \mathbb {S} }}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$
高斯磁定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle {\scriptstyle \mathbb {S} }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0}$
法拉第电磁感应定律	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}}$
馬克士威-安培定律	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}}$

這種形式的馬克士威方程組又稱為「微觀馬克士威方程組」，可以用來推導出宏觀馬克士威方程組，也可以用來找出原子性質與宏觀性質兩者之間的關聯。[11]^{:1, 4}[5]^{:2, 248}

宏觀表述[4]^:193

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$	${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle {\scriptstyle \mathbb {S} }}$${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}}$
高斯磁定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle {\scriptstyle \mathbb {S} }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0}$
法拉第电磁感应定律	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}}$
馬克士威-安培定律	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {D} }}{\mathrm {d} t}}}$

這種形式的馬克士威方程組又稱為「宏觀馬克士威方程組」，特別適用於描述在介电质中的電磁性質，稍後會有更詳細論述。[11]^:1[5]^{:2, 248}

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：

物理意義和單位

符號	物理意義	國際單位[5]:782-783
${\displaystyle \mathbf {E} \ }$	電场強度	伏特／公尺、牛頓／庫侖
${\displaystyle \mathbf {B} \ }$	磁通量密度	特斯拉、韋伯／公尺2、伏特·秒／公尺2
${\displaystyle \mathbf {D} \ }$	電位移	庫侖／公尺2、牛頓／伏特·公尺
${\displaystyle \mathbf {H} \ }$	磁场强度	安培／公尺
${\displaystyle \mathbf {\nabla \cdot } }$	散度算符	／公尺
${\displaystyle \mathbf {\nabla \times } }$	旋度算符
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$	對於時間的偏導數	／秒
${\displaystyle \mathbb {S} }$	曲面積分的運算曲面	公尺2
${\displaystyle \mathbb {L} }$	路徑積分的運算路徑	公尺
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }$	微小面元素向量	公尺2
${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$	微小線元素向量	公尺
${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$	電常數	法拉／公尺
${\displaystyle \mu _{0}\ }$	磁常數	亨利／公尺、牛頓／安培2
${\displaystyle \ \rho _{f}\ }$	自由電荷密度	庫侖／公尺3
${\displaystyle \ \rho \ }$	總電荷密度	庫侖／公尺3
${\displaystyle Q_{f}}$	在閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$裏面的自由電荷	庫侖
${\displaystyle Q}$	在閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$裏面的總電荷	庫侖
${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$	自由電流密度	安培／公尺2
${\displaystyle \mathbf {J} }$	總電流密度	安培／公尺2
${\displaystyle I_{f}}$	穿過閉路徑${\displaystyle \mathbb {L} }$所包圍的曲面的自由電流	安培
${\displaystyle I}$	穿過閉路徑${\displaystyle \mathbb {L} }$所包圍的曲面的總電流	安培
${\displaystyle \Phi _{B}}$	穿過閉路徑${\displaystyle \mathbb {L} }$所包圍的曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的磁通量	特斯拉·公尺2、伏特·秒，韋伯
${\displaystyle \Phi _{E}}$	穿過閉路徑${\displaystyle \mathbb {L} }$所包圍的曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的電通量	焦耳·公尺/庫侖
${\displaystyle \Phi _{D}}$	穿過閉路徑${\displaystyle \mathbb {L} }$所包圍的曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的電位移通量	庫侖

在經典電磁學裏，微觀尺度指的是系統尺寸的數量級大於10⁻¹⁴公尺的尺度範圍。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點電荷，微觀馬克士威方程組成立；否則，必需將原子核內部的電荷分佈納入考量。在微觀尺度計算出來的電場與磁場仍舊變化相當劇烈，空間變化的距離數量級小於10⁻¹⁰公尺，時間變化的週期數量級在10⁻¹⁷至10⁻¹³秒之間。因此，從微觀馬克士威方程組，必需經過經典平均運算，才能得到平滑、連續、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10⁻⁸公尺。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀馬克士威方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10⁻²⁴立方公尺的立方體大約含有10⁶個原子核和電子。這麼多原子核和電子的物理行為，經過經典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據可靠文獻記載，經典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應。[5]^:248-249

經典平均運算是一種比較簡單的平均程序，給定函數${\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)}$，這函數的空間平均定義為

${\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)=\int _{\mathbb {V} }w(\mathbf {r} ')F(\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t)\ \mathrm {d} ^{3}r'}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$是平均運算的空間，${\displaystyle w(\mathbf {r} ')}$是權重函數。

很多函數都可以選為優良的權重函數，高斯函數正是一例：

${\displaystyle w(\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi R^{2})^{3/2}}}e^{-r^{2}/R^{2}}}$。

最早出現的馬克士威方程式和其相關理論是為宏觀物質設計的，是一種現象學。在那時候，物理學者並不清楚造成電磁現象的基本原因。後來，按照物質的粒子繪景，才推導出微觀馬克士威方程式。二十世紀前半期，在量子力學、相對論、與粒子物理學領域的突破與發展，其嶄新理論與微觀馬克士威方程組相結合，成為建立量子電動力學的關鍵基石。這是物理學中最準確的理論，所計算出的結果能夠精確地符合實驗數據[16]^:1-2。

馬克士威方程組形似超定組：它只涉及到六個未知量（向量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設定並符合電荷守恆的物理量），但卻是由八個方程式所組成（兩個高斯定律共有兩個方程式，法拉第定律與馬克士威-安培定律各有三個方程式）。經過仔細分析，即可明白，實際上並不是這麼簡單。

馬克士威方程組的方程式具有「獨立性」──從方程組內的任何一個或多個方程式，都不能推導出方程組內的任何其它方程式。這意味著馬克士威方程組不是超定組，其內中沒有重複任何功能的方程式。馬克士威方程組、洛仑兹力方程式與牛頓第二運動定律總合起來具有「完備性」，他們可以說明所有經典電動力學的現象，不需要使用到任何其它方程式。在某區域內，給定適當的初始條件與邊界條件，則馬克士威方程組的解答具有「唯一性」，即每一個應變量只能有一種函數形式，其內部只含有常數或自變量，不含有任何其它應變量。[17][5]^:239

法拉第定律與馬克士威-安培定律共同主導著在空間內電磁場隨著時間流易的演化，而高斯定律與高斯磁定律則是約束方程式，電磁場必須在所有時間與空間遵守這兩個約束方程式。理論而言，可以假設某種電磁場在所有空間服從法拉第定律與馬克士威-安培定律的指揮，反之，如果他們不遵守高斯定律與高斯磁定律的約束，則它們無法實際存在於真實世界。換句話說，法拉第定律與馬克士威-安培定律會給出額外的解答，其不符合高斯定律與高斯磁定律的約束。[18][19]^:1019-1020

舉例而言，假設電荷源與電流源為零，採用直角坐標系，根據高斯定律與高斯磁定律，對於電場與磁場在空間每一個位置可以分別自由設定兩個分量，${\displaystyle E_{x}}$、${\displaystyle E_{y}}$與${\displaystyle B_{x}}$、${\displaystyle B_{y}}$（需要給出4個函數），由於

${\displaystyle {\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}}$、

${\displaystyle {\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}}$，

只要在任意一個xy-平面的每一個位置分別設定${\displaystyle E_{z}}$與${\displaystyle B_{z}}$（需要給出2個函數），則可估算在空間每一個其它位置的${\displaystyle E_{z}}$與${\displaystyle B_{z}}$。知道這些${\displaystyle \mathbf {E} }$與${\displaystyle \mathbf {B} }$的信息，則可使用法拉第定律與馬克士威-安培定律估算出在所有時間${\displaystyle \mathbf {E} }$與${\displaystyle \mathbf {B} }$的信息。

前面所表述的馬克士威方程組的兩種形式，在數學上等價。

兩種高斯定律數學等價的證明

本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式[6]:326-330 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$， 等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。 電位移${\displaystyle \mathbf {D} }$的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$； 其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。 束縛電荷密度${\displaystyle \rho _{bound}}$的定義式為（請參閱電極化） ${\displaystyle \rho _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\nabla \cdot \mathbf {P} }$。 注意到${\displaystyle \rho }$是總電荷密度： ${\displaystyle \rho =\rho _{f}+\rho _{bound}=\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D} +\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} }$ 。 稍加編排， ${\displaystyle \rho -\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D} }$ 。 所以，${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$若且唯若${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$。兩個方程式等價。

兩種馬克士威-安培定律數學等價的證明

本段落證明馬克士威-安培定律對於總電流的方程式[6]:326-330 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$， 等價於馬克士威-安培定律對於自由電流的方程式 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件，因為，根據斯托克斯定理，對於這兩種馬克士威-安培定律的方程式，微分形式都分別等價於積分形式。 束縛電流密度${\displaystyle \mathbf {J} _{bound}}$的定義式為（請參閱磁化強度） ${\displaystyle \mathbf {J} _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M} }$； 其中，${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化強度。 假設總電流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$是 ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}}$。 根據電荷守恆定律， ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$、 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}=0}$。 那麼， ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=\nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+\nabla \cdot \mathbf {J} _{bound}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {M} )+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&={\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$ 。 假若束縛電荷密度${\displaystyle \rho _{bound}}$含時間，則電荷守恆定律無法被滿足。為了要滿足這定律，總電流密度必須加入一個項目，「極化電流密度」${\displaystyle \mathbf {J} _{p}}$，定義為： ${\displaystyle \mathbf {J} _{p}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。 那麼， ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{p}=\nabla \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}}$。 因此，總電流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$是 ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}+\mathbf {J} _{p}=\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。 H場定義為 ${\displaystyle \mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\mathbf {M} }$。 稍加編排， ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {J} _{f}-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\ \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\\end{aligned}}}$ 。 所以，${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$若且唯若${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$。兩個方程式等價。

左半圖展示一群微觀電偶極子，它們所產生的電場，可以視為分別位於最上端與最下端的表面電荷所產生的電場。右半圖展示一群微觀電流迴路共同形成了一個宏观電流迴路。假若微觀電流迴路均勻分佈，則位於內部的電流迴路的貢獻會相互抵銷，但是位於邊界的電流迴路不會被抵銷，因此會形成宏观的電流迴路。

假設，施加外電場於介電質。施加這個電場的結果是，介電質的分子會形成一個微觀的電偶極子，其伴隨著電偶極矩。分子的原子核會朝著電場的方向稍微遷移位置，而電子則會朝著相反方向稍微遷移位置。這形成了介電質的電極化。如右圖的理想狀況所示，雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛於其原本的分子，由於這些微小遷移所造成的電荷分佈，變得好像是在介電質的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負表面電荷。電極化強度定義為介電質內部的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質內部，假設電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$是均勻的，則宏观的面束縛電荷只會出現於介電質表面，即${\displaystyle \mathbf {P} }$進入或離開介電質之處；否則，假設${\displaystyle \mathbf {P} }$是不均勻的，則介電質內部也會出現束縛電荷。[6]^:166-175

與靜電學有些類似的是，在靜磁學裏，假設施加外磁場於物質，響應這動作，物質會被磁化，原子成分會顯示出磁矩。在本質上，這磁矩與原子的各個亞原子粒子的角動量有關。其中，響應最顯著的是電子。這角動量的連結，不禁令人聯想到一副圖畫，在圖畫中，磁化物質變成了一群微觀的束縛電流迴路。雖然每一個電荷只是移動於其原子的微觀迴路，一群微觀的束縛電流迴路聚集在一起會形成宏观的束縛電流循環流動於物質的表面。這些束縛電流可以用磁化強度${\displaystyle \mathbf {M} }$來描述。磁化強度定義為磁偶極矩在一個磁化物質內的密度，也就是單位體積的磁偶極矩。[6]^:262-268

這些非常複雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏观尺度，可以分別以電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$與磁化強度${\displaystyle \mathbf {M} }$來表達。電極化強度與磁化強度分別將這些束縛電荷與束縛電流以恰當的尺度做空間平均，這樣，可以除去單獨整體原子形成的凹凸粗糙結構，但又能夠顯示出強度隨著位置而變化的物理性質。由於所有涉及的向量場都已做過恰當體積的空間平均，宏观馬克士威方程組忽略了微觀尺度的許多細節。不過，對於了解物質的宏观尺度性質，這些細節可能不具甚麼重要性。[5]^:14

為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到${\displaystyle \mathbf {D} }$場與${\displaystyle \mathbf {E} }$場之間、${\displaystyle \mathbf {H} }$場與${\displaystyle \mathbf {B} }$場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。[22]^:44-45

本構關係式的基礎建立於附屬場${\displaystyle \mathbf {D} }$與${\displaystyle \mathbf {H} }$的定義式：[8]^:413-414

${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$、

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度，${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化強度。

電極化強度與磁化強度都是源自於物質對於外電場與外磁場的響應。電極化強度是電場的函數，磁化強度是磁場的函數。因此，本構關係式的一般形式為[5]^:14

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} [\mathbf {E} ,\mathbf {B} ]}$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} [\mathbf {E} ,\mathbf {B} ]}$。

在這裏，使用方括號，而不是圓括號，這樣標記主要是在提醒讀者，函數與參數彼此之間的關係並不簡單，很可能相當複雜，可能與過去歷史有關，也可能是非線性相關。大多數實際物質的本構關係式的獲得都需要使用近似手段，通常是從做實驗找到結果。

在自由空間（即理想真空）裏，不需考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：[5]^:2

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

更一般而言，對於線性物質，本構關係式為[22]^:44-45

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon }$是物質的電容率，${\displaystyle \mu }$是物質的磁導率。

儘管只是線性案例，仍舊可能很複雜。[5]^:14-16

• 在均質材料裏，${\displaystyle \varepsilon }$與${\displaystyle \mu }$為常數；在非均質材料裏，則依位置而變換。[23]^:463
• 在各向同性材料裏，${\displaystyle \varepsilon }$與${\displaystyle \mu }$為標量；在各向異性材料裏，例如晶體，它們是張量。[23]^:463[22]^:421
• 對於色散材料，${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$都跟入射電磁波的頻率有關。[23]^:397[22]^:625

如同其它微分方程組一般，必須設定邊界條件[24]^:1ff[25]^{:261 ff}與初始條件[26]^:17ff，才能給出馬克士威方程組的唯一解答。

在經典電磁學裏，在一個不含有任何自由電荷和自由電流的區域${\displaystyle \mathbb {R} }$內的電磁場，必定是來自於其它區域。當解析這狀況時，通過適當的邊界條件或初始條件，可以將區域外的電磁場與這區域${\displaystyle \mathbb {R} }$的電磁場連結在一起。舉一個電磁波散射的例子，一個來自於散射區域之外的電磁波，遭遇到散射區域內的一個靶子，被這靶子散射出去。在這散射過程裏，由於電磁波與靶子之間相互作用，散射的電磁波含有很多與這靶子性質相關的信息。經過仔細地分析，將這些信息萃取出來，就可以更詳細地了解這靶子的性質[27]^:45ff。

對於某些案例，譬如波導或空腔共振器，因為像金屬牆壁一類的隔離設施，解答區域大部份孤立於外部世界。在金屬牆壁位置的邊界條件決定了解答區域的電磁場。在解答區域以外的外部世界，只能靠著邊界條件來影響內部的狀況[28]。對於另外一些案例，像光導纖維或薄膜，解答區域時常會被分割為幾個亞區域，每個亞區域都有其簡單獨自的性質。通過亞區域與亞區域之間界面的邊界條件，可以將每一個亞區域的解答連結起來[29]。

應用邊界條件，有時也可以簡化問題，使得問題更容易被了解。例如，均勻物體的電極化可以被更換為在這物體外表的一層面電荷分佈，[6]^:166-175或者，均勻物體的磁化被更換為在這物體外表的一層面電流分佈。[6]^:263-265詳盡細節，請參閱束縛電荷和束縛電流段落。

馬克士威方程組與狹義相對論之間的關係密切。不只是因為馬克士威方程組對於狹義相對論的初始發展，做了相當大的貢獻，也因為狹義相對論激盪出一種更簡潔的表述，能以協變張量來表達馬克士威方程組。

自由空間的馬克士威方程組的形式，對於任意慣性坐標系，都是一樣的。在狹義相對論裏，為了要更明確地表達出這論點，必須以四維向量和張量寫出協變形式的馬克士威方程組。這表述的一個構成要素為電磁張量，其是結合了電場和磁場在一起的二階反對稱張量。電磁張量${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$表示為：[6]^:535-537

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-{E_{x}}/{c}&-{E_{y}}/{c}&-{E_{z}}/{c}\\{E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)}$ 。

使用閔考斯基度規${\displaystyle \eta }$，

${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }=diag(-1,1,1,1)=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}$ ，

將下標拉高為上標，可以得到反變張量${\displaystyle F^{\mu \nu }}$：

${\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\alpha \mu }\,\eta ^{\beta \nu }\,F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{E_{x}}/{c}&{E_{y}}/{c}&{E_{z}}/{c}\\{-E_{x}}/{c}&0&B_{z}&-B_{y}\\{-E_{y}}/{c}&-B_{z}&0&B_{x}\\{-E_{z}}/{c}&B_{y}&-B_{x}&0\end{matrix}}\right)}$ 。

${\displaystyle F^{\alpha \beta }}$的二階對偶張量${\displaystyle G^{\mu \nu }}$是

${\displaystyle G^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-{E_{z}}/{c}&{E_{y}}/{c}\\-B_{y}&{E_{z}}/{c}&0&-{E_{x}}/{c}\\-B_{z}&-{E_{y}}/{c}&{E_{x}}/{c}&0\end{matrix}}\right)}$ 。

另外一個要素是四維電流密度${\displaystyle J^{\alpha }}$：[6]^:537-539

${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$；

其中，${\displaystyle \rho }$是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {J} }$是電流密度。

藉著這些要素，採用愛因斯坦求和約定，馬克士威方程組可以寫為

${\displaystyle {\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }}$、

${\displaystyle {\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0}$ ;

其中，${\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$是四維梯度。[5]^:543

這兩個張量方程式等價於馬克士威方程組。第一個張量方程式表達兩個非齊次馬克士威方程式，高斯定律和馬克士威-安培定律。第二個張量方程式表達兩個齊次馬克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感應定律。

在高等经典力學裏，電勢與磁矢勢可以較為便利地表達與分析電磁理論。這種表述稱為「勢場表述」。在量子力學層次，電動力學幾乎完全使用勢場表述。[4]^:33電場與磁場分別以電勢${\displaystyle \phi }$與磁矢勢${\displaystyle \mathbf {A} }$表示為[4]^:35-37

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -\ {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$。

從這兩個定義式，兩個齊次馬克士威方程式自動成立，另外兩個非齊次方程式變為

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$、

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$。

這兩個勢場方程式組合起來，具有與原本馬克士威方程組同樣的功能和完備性。由於電場和磁場各有三個分量，原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁矢勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。

許多不同的${\displaystyle \phi }$與${\displaystyle \mathbf {A} }$數值組可以得到同樣的電場與磁場。因此，這些數值組相互物理等價，可以自由選擇。這性質稱為規範自由。恰當的選擇可以簡化方程式的形式，或者，可以專門適用於某特別狀況。採用勞侖次規範

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$，

勢場的兩個向量方程式可以寫為兩個具有勞侖茲不變性的方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$、

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$。

利用達朗白算符來表示將會更簡潔，

${\displaystyle \Box \phi =-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$、

${\displaystyle \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }$。

其中，${\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)}$是達朗白算符，又稱為「四維拉普拉斯算符」。

由磁矢勢和電勢共同組成的四維勢以方程式定義為

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\varphi ,\mathbf {A} \right)}$。

二十世紀初，阿諾·索末菲提出了四維向量方程式，這是波恩哈德·黎曼先前想出的一個方程式的推廣，因此，這個方程被命名為「黎曼-索莫菲方程式」，[31]^:37-38或馬克士威方程組的勢場表述的協變形式：[32]^:102

${\displaystyle \Box A^{\mu }=-\mu _{0}j^{\mu }}$。

物質和能量會造成時空彎曲。這是廣義相對論的主題。時空彎曲會影響電動力學的物理。一個電磁場所擁有的能量和動量也會造成時空彎曲。將平直時空的方程組中的偏導數改換為協變導數，就可以得到彎曲時空中的馬克士威方程組：[33]^:247

${\displaystyle \nabla _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\alpha }}$、

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$；

其中，${\displaystyle F^{\alpha \beta }}$是二階電磁張量。

注意到二階張量的協變導數為[33]^:229

${\displaystyle \nabla _{\beta }F^{\mu \nu }=\partial _{\beta }F^{\mu \nu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }F^{\alpha \nu }+{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }F^{\mu \alpha }}$；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}$是表現時空彎曲的克里斯托費爾符號。

所以，馬克士威方程組又可以表示為

${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\omega \beta }F^{\omega \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\omega \beta }F^{\alpha \omega }=\mu _{0}j^{\alpha }}$、

${\displaystyle \partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$。