李超代数

形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z₂-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

超雅可比恒等式：[1]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

其中x、y、z在Z₂分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在${\displaystyle |x|=0}$时添加公理${\displaystyle [x,x]=0}$（若2可逆，则公理自动成立）；对${\displaystyle |x|=1}$时，有${\displaystyle [[x,x],x]=0}$（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。 反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有${\displaystyle Z_{2}}$分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

令${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：[2]

1. 无奇元素。即${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$为平凡李代数。
2. 1个奇元素。则${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$是作用${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$的${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$模。
3. 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$是对称${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$映射。
4. 3个奇元素。对所有${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$，都有${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$。

因此，李超代数的偶超代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$是${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$的线性表示，存在对称${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$等变线性映射${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$使得

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$）和表示（${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$）开始构造李超代数时最难验证的条件。

^∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z₂分次且对李超代数中所有x、y都有${\displaystyle [x,\ y]^{*}=[y^{*},\ x^{*}]}$（有人更喜好约定${\displaystyle [x,\ y]^{*}=(-1)^{|x||y|}[y^{*},\ x^{*}]}$；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

给定结合超代数${\displaystyle A}$，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

然后线性延伸到所有元素。代数${\displaystyle A}$与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当${\displaystyle A}$为超向量空间${\displaystyle V}$中所有线性函数${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$的空间。${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$时，该空间可表为${\displaystyle M^{p|q}}$或${\displaystyle M(p|q)}$。[3]用上述李括号，空间可表为${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$。[4]

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）[5] 特殊线性李超代数 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$.

李超代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$是${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$的超代数，包含超迹为0的矩阵。${\displaystyle m\not =n}$时是简单的；${\displaystyle m=n}$时，单位矩阵${\displaystyle I_{2m}}$产生一个理想。对理想取商，可得 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$，对${\displaystyle m\geq 2}$是简单的。

正交辛李超代数 ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$.

考虑${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$上的偶、非退化、超对称双射形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$，则正交辛李超代数是${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$的超代数，包含的矩阵满足下式不变：

$${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$

其偶部由${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$给出。

例外李超代数 ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$.

有一族取决于参数${\displaystyle \alpha }$的(9∣8)维李超代数，它们是${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$的变形。若${\displaystyle \alpha \not =0}$、${\displaystyle \alpha \not =-1}$，则D(2,1,α)是简单的；若${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$在映射${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$、${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$的作用下处于同一轨道，则${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$。

例外李超代数 ${\displaystyle F(4)}$.

具有维度(24|16)。偶部由${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$给出。

例外李超代数 ${\displaystyle G(3)}$.

具有维度(17|14)。偶部由${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$、${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$.

Cartan类型。可分为4族：${\displaystyle W(n)}$、${\displaystyle S(n)}$、${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$、${\displaystyle H(n)}$。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有${\displaystyle {\mathcal {N}}}$超对称的Virasoro代数是${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$，其只有中心扩展到${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$。[6]

范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

其中σ是循环包络辫${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$。以图表示：

• 格尔斯滕哈伯代数
• 任意子李代数
• 外代数
• 李超代数的表示
• 超空间
• 超群
• 泛包络代数

• Cheng, S.-J.; Wang, W. . Graduate Studies in Mathematics 144. 2012: 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6.
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• Musson, I. M. . Graduate Studies in Mathematics 131. 2012: 488 pp [2023-11-19]. ISBN 978-0-8218-6867-6. （原始内容存档于2015-09-15）.
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• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras