交换环

一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作 + 与 ⋅ ，例如 a + b 与 a ⋅ b。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下是一个阿贝尔群，在乘法下为一个幺半群，使得乘法对加法有分配律，即 a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)。关于加法与乘法的单位元素分别记作 0 和 1。

另外如果乘法也是交换的，即

a ⋅ b = b ⋅ a，

环 R 称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。

一个重要的例子，在某种意义下是最关键的，是带有加法与乘法两个运算的整数环 Z。因为整数乘法是一个交换运算，这是一个交换环。通常记作 Z，是德语词 Zahlen（数）的缩写。

一个域是每个非零元素 a 是可逆的交换环，即有一个乘法逆 b 使得 a ⋅ b = 1。从而，由定义知任何域是一个交换环。有理数、实数、复数都是域。

2×2 的矩阵不是交换的，因为矩阵乘法不满足交换律，如下例所示：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$，不等于 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}$

但是，能被相同的相似变换对角化的矩阵形成一个交换环。一个例子是关于一个固定节点集合差商的矩阵集合。

如果 R 是一个给定的交换环，关于变量 X 系数位于 R 中的所有多项式形成一个多项式环，记作 R[X]。对多个变量同样成立。

如果 V 是某个拓扑空间，例如某个 Rⁿ 的子集，V 上实值或复值连续函数形成一个交换环。同样对可微函数或全纯函数也对，只要两者有定义，比如 V 是一个复流形。

交换环的内部结构通过考虑它的理想来确定，即在与环中任何元素相乘以及加法下封闭的非空子集 I：对所有 r 属于 R，i 与 j 属于 I，ri 与 i+j 都要求属于 I。给定 R 的任何子集 F = {f_j}_{j ∈ J}（这里 J 是某个指标集），由 F 生成的理想是最小的包含 F 的理想。等价地，它有有限线性组合给出

r₁f₁ + r₂f₂ + ... + r_nf_n。

由一个元素生成的理想叫做主理想。若环中所有理想都是主理想称为主理想环，两个重要的情形是 Z 与一个域 k 上的多项式环 k[X]。任何环有两个理想，零理想 { 0 } 与整个环 R。不包含于任何真理想（即 ≠R）的理想称为极大的。一个理想 m 是极大的当且仅当 R / m 是一个域。任何环至少有一个极大理想，这可由与选择公理等价的佐恩引理得出。

理想的定义使得“除以” I 中的元素给出另一个环，商环 R / I：它是 I 的陪集，两个运算为

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I and (a + I)(b + I) = ab + I。

例如，环 Z/nZ（也记作 Z_n），其中 n 是一个整数，是整数模 n 环。它是模算术的基础。

一个环的局部化是商环的对立面，在商环 R /I 中某些元素（I 中的元素）变为零，而在局部化中某些元素变为可逆的，即乘法逆添进环中。具体的，如果 S 是 R 的一个乘法闭子集（即只要 s 与 t ∈ S 则 st ∈ S）在 R 在 S 处的局部化，或分母在 S 中的分式环，通常记作 S⁻¹R 由符号

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$ 其中 r ∈ R, s ∈ S

组成，满足与有理数的约分类似的法则。事实上，在这种语言中 Q 是 Z 在所有非零整数的局部化。此构造对所有整环 R 也成立。如果 S 由一个固定元素 f 的所有幂组成，局部化写成 R_f。

一类特别重要的理想叫做素理想，通常记作 p。此概念源于19世纪代数学家们意识到，不像 Z，在许多环中没有素数惟一分解（有此性质的环称为惟一分解整环）。由定义，素理想是一个真理想使得只要环中任何两个元素 a 与 b 的乘积 ab 属于 p，则 a 与 b 中至少有一个已属于 p。（相反的结论由定义对任何理想成立）。等价地，商环 R / p 是一个整环。另一种表述是说补集 R \ p 是乘法封闭的。局部化 (R \ p)⁻¹R 足以重要到赋以单独的记号：R_p。这个环只有一个极大理想，即 pR_p。这样的环称为局部环。

由上所述，任何极大理想都是素理想。证明一个理想是素的，或等价的一个环没有零因子可能非常困难。

Z 的谱。

素理想是几何地理解一个环的关键步骤，通过环的谱 Spec R：它是 R 的所有素理想集合[nb 1]。上已提到，至少有一个素理想，从而谱非空。如果 R 是一个域，惟一的素理想是零理想，从而谱只有一个点。但 Z 的谱，包含零理想的一个点，以及任何素数 p（生成素理想 pZ）的一个点。谱赋以一个拓扑叫扎里斯基拓扑，这由将子集 D(f) = {p ∈ Spec R, f ∉ p} 设定为开集确定，这里 f 是任何环元素。此拓扑与分析或微分几何中遇到的可能不同；例如，一般地存在点不是闭的。譬如，对应于零理想的点 0 ⊂ Z 的闭包，是整个 Z 的谱。

谱的概念是交换代数与代数几何的公共基石。代数几何将 Spec R 赋予一个层 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$（将不同的开子集上局部定义的所有函数收集起来的实体）。此空间与层的数据称为一个仿射概形。给定一个仿射概形，底环 R 可作为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ 的整体截面重新得到。而且，已建立起来的环与放射概形之间的一一对应也与环同态相容：任何 f : R → S 得出一个方向相反的连续映射

Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q)，即 S 的任何素理想映到在 f 下的原像，这是 R 的一个素理想。

谱也使局部化和商环是互补的直觉确切化：自然映射 R → R_f 与 R → R / fR 分别对应于，将环的谱赋以他们的扎里斯基拓扑后，互补的开、闭嵌入。

总之所说的这两个范畴的等价反应了环的代数性质以几何方式表现出来。流形局部由 Rⁿ 给出，与之类似，仿射概形的局部模型是概形，这是代数几何中研究的对象。从而，环与同态中许多概念都源于几何直觉。

如果 I 是交换环 R 中一个理想，I 的幂组成 0 的一个拓扑邻，这使 R 可视为一个拓扑环。这个拓扑称为 I-进拓扑。这样 R 关于这个拓扑可以完备化。形式上，I-进拓扑完备化是环 R/Iⁿ 的反向极限。例如，如果 k 是一个域，k[[X]]，k 上一个变量形式幂级数环，是 k[X] 的 I-进完备化，其中 I 是由 X 生成的主理想。类似地，p-进整数环是 Z 的 I-进完备化，其中 I 是由 p 生成的主理想。任何同构于它的完备化的环叫做完备。

1. Jacobson 1945
2. Pinter-Lucke 2007