林德勒夫引理

取${\displaystyle X}$的一个可数拓扑基${\displaystyle {\mathcal {B}}}$。设${\displaystyle F}$和${\displaystyle F'}$是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：

对${\displaystyle \forall x\in F}$，则${\displaystyle x\notin F'}$。由T₃公理可知，有${\displaystyle x}$和${\displaystyle F'}$的不相交邻域${\displaystyle W}$和${\displaystyle W'}$，于是${\displaystyle {\bar {W}}\cap F'=\varnothing }$。取${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$，使得${\displaystyle x\in B\subset W}$，则${\displaystyle {\bar {B}}\cap F'=\varnothing }$。记${\displaystyle \{B_{1},\ B_{2},\ \cdots \}}$是${\displaystyle {\mathcal {B}}}$中所有闭包与${\displaystyle F'}$不相交的成员，上面已证明${\displaystyle F\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}$。记${\displaystyle \{B_{1}',\ B_{2}',\ \cdots \}}$是${\displaystyle {\mathcal {B}}}$中所有闭包与${\displaystyle F}$不相交的成员，则${\displaystyle F'\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}'}$。

记${\displaystyle U_{n}=B_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}'}}}$，${\displaystyle V_{n}=B_{n}'\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}}}\ (n=1,2,\cdots )}$，则${\displaystyle U_{n}}$和${\displaystyle V_{n}}$都是开集，并且${\displaystyle \forall n,m,\ U_{n}\cap V_{m}=\varnothing }$。令${\displaystyle U=\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$，${\displaystyle V=\bigcap _{n=1}^{\infty }V_{n}}$，则${\displaystyle U\cap V=\bigcup _{n,m=1}^{\infty }(U_{n}\cap V_{m})=\varnothing }$。设${\displaystyle x\in F}$，则存在${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle x\in B_{n}}$，从而${\displaystyle x\in U_{n}\subset U}$。因此${\displaystyle U}$是${\displaystyle F}$的开邻域，同理${\displaystyle V}$是${\displaystyle F'}$的开邻域。从而${\displaystyle U}$和${\displaystyle V}$是${\displaystyle F}$和${\displaystyle F'}$的不相交邻域，空间${\displaystyle X}$满足T₄公理。

• 点集拓扑学
• 分离公理
• 可数性公理

• 《基础拓扑学讲义》尤承业 P42、43