树状数组

树状数组二元索引树英語:),又以其发明者命名为芬威克樹英語:),最早由彼得·M·芬威克(Peter M. Fenwick)于1994年以《A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables》[1]为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩裡的累积频率(Cumulative Frequency)的计算问题,现多用于高效计算数列的前缀和, 区间和。它可以以的时间得到任意前缀和,并同时支持在时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度

树状数组
类型二元樹
发明时间1989年
发明者鮑里斯·里亞布科
大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差
空间
插入
根据数组[1, 2, 3, 4, 5]来创建对应的树状数组

结构起源

按照彼得·M·芬威克的说法,正如所有的整数都可以表示成2的幂和,我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。采用这个想法,我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和,而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。一方面,子序列的个数是其二进制表示中1的个数,另一方面,子序列代表的f[i]的个数也是2的幂。[2][3][4]

基本操作

预备函数

定义一个lowbit函数,返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值。

例如,lowbit(34)的返回值将是2;而lowbit(12)返回4;lowbit(8)返回8。

将34转为二进制为(0010 0010)2。这里的“最后一个1”指的是从位往前数,见到的第一个1,也就是位上的1。

程序上,(~i + 1) & i表明了最后一位1的值。

仍然以34为例,~(0010 0010)的结果是1101 1101(221),加1后为1101 1110(222),把0010 0010与1101 1110作AND,得0000 0010(2)。

lowbit的一个简便求法:(C++)

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建

定义一个数组 BIT,用以维护的前缀和,则:

具体能用以下方式实现:(C++)

void build()
{ 
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)
    {
        BIT[i] = A[i - 1];
        for (int j = i - 2; j >= i - lowbit(i); j--)
            BIT[i] += A[j];
    }
}
//注:这里的求和将汇集到非终端结点(D00形式)
//BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和
//终端结点位置的元素和,将在求和函数中求得
//BIT中的index,比原数组中大1

修改

假设现在要将的值增加delta,

那么,需要将覆盖的区间包含的值都加上delta,

这个过程可以写成递归,或者普通的循环。

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关,即这部分的时间复杂度是

修改函数的C++写法:

void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和

假设我们需要计算的值。

  1. 首先,将ans初始化为0,将i初始化为k。
  2. 将ans的值加上BIT[i]
  3. 将i的值减去lowbit(i)
  4. 重复步骤2~3,直到i的值变为0。

求和函数的C/C++写法:

int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

时空复杂度

  • 初始化复杂度最优为:
  • 单次询问复杂度:,其中N为数组大小
  • 单次修改复杂度:,其中N为数组大小
  • 空间复杂度:

扩展

树状数组可以通过维护差分数组来处理区间修改和单点查询。具体地,当我们在 增加 时只需执行 edit(l,d)edit(r+1,-d) 。查询则与单点修改区间查询相似。

应用

求逆序对数[5]

逆序对数是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序对数是0+1+2+2=5。

可以先把数列中的数按大小顺序转化成的整数,使得原数列成为一个的排列,创建一个树状数组,用来记录这样一个数组(下标从1算起)的前缀和:若排列中的数当前已经出现,则的值为,否则为。初始时数组的值均为,从排列中的最後一个数开始遍历,每次在树状数组中查询有多少个数小于当前的数(即用树状数组查询数组目前个数的前缀和)并加入计数器,之后对树状数组执行修改数组个数值加的操作。

参考文献

  1. Peter M. Fenwick. . Software: Practice and Experience. 1994, 24 (3): 327–336 [2015-10-24]. doi:10.1002/spe.4380240306. (原始内容存档于2021-02-25).
  2. . [2012-05-09]. (原始内容存档于2019-08-23).
  3. . [2012-05-09]. (原始内容存档于2016-06-16).
  4. . [2012-11-18]. (原始内容存档于2013-04-10).
  5. . [2012-05-11]. (原始内容存档于2019-11-30).
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