逆序对

一个四元素置换的从基于位置逆序到基于元素逆序的映射。

設${\displaystyle \ \pi \ }$為一個排列，如果${\displaystyle \ i<j\ }$而且${\displaystyle \ \pi (i)>\pi (j)\ }$， 這個位置（有称为“序位”）对${\displaystyle \ (i,j)\ }$[1][2]，或者這个元素对${\displaystyle \ {\bigl (}\pi (i),\pi (j){\bigr )}\ }$[3][4][5]，被稱為是${\displaystyle \ \pi \ }$的一個逆序。

逆序集是所有逆序的集合。一個排列${\displaystyle \ \pi \ }$的使用基于位置表示法的逆序集，相同于其反向排列${\displaystyle \ \pi ^{-1}\ }$的使用基于元素表示法的逆序集，只有每个有序对的两个分量交換位置，反之亦然[6]。

通常逆序是對於排列的定義，但也可以用於序列： 設${\displaystyle \ S\ }$是一個序列（或多重集排列[7]）。如果${\displaystyle \ i<j\ }$而且${\displaystyle \ S(i)>S(j)\ }$， 這個位置对${\displaystyle \ (i,j)\ }$[7][8]，或者這个元素对${\displaystyle \ {\bigl (}S(i),S(j){\bigr )}\ }$[9]，被稱為是${\displaystyle \ S\ }$的一個逆序。

對於序列，根據基于元素定义的逆序不是唯一性的，因為不同的位置对上可能有相同的值對。

序列${\displaystyle \ X=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \ }$的逆序數${\displaystyle \ {\mathtt {inv}}(X)\ }$[10]，是逆序集的势，它常用於量度排列[5]或序列[9]的已排序程度（有时叫做预排序度presortedness）。逆序数在${\displaystyle \ 0\ }$至${\displaystyle \ {\frac {n(n-1)}{2}}\ }$之间，含二者。

在一個排列的箭頭指向圖中，它是箭頭指向相交叉的數[6]，也是從单位排列而得到的Kendall tau距離，以及每個与逆序有關的向量之和，它们在后面章节中定義。

對於逆序數，基于位置与基于元素定義之间的分別並不重要，因為排列及其反向排列都具有相同的逆序數。

其它測量（預先）排序程度的方式，包括了為排好序列而從序列中可以刪除元素的最小數量，對序列所“運行”排序的次數和長度，每個元素在已排序位置之上的距離總和（Spearman footrule），以及排序過程中必需的最少交換次數[11]。比較排序算法計算逆序數的時間為${\displaystyle \ O(n\log n)\ }$[12]。

目前求逆序对数目比较普遍的方法，是利用归并排序做到${\displaystyle \ O(n\log n)\ }$的时间复杂度；也可以利用树状数组、线段树来实现这种基础功能。复杂度均为${\displaystyle \ O(n\log n)\ }$。

有三個類似的向量用於將排列的逆序，壓縮到能唯一確定它的这个向量中。它們通常被稱為逆序向量或Lehmer碼。这里的定义及公式来源于逆序 (离散数学)。

本文將逆序向量記為${\displaystyle \ v\ }$[13]，其它的兩個向量有時分別稱為“左”和“右”逆序向量；為了避免與前面的逆序向量混淆，本文將另兩個分別稱為“左逆序計數”${\displaystyle \ l\ }$和“右逆序計數”${\displaystyle \ r\ }$。左逆序計數是以反向colexicographic次序的排列[14]，右逆序計數則是以字典序的排列。

Rothe图

逆序向量${\displaystyle \ v\ }$：
采用基于元素的定義，${\displaystyle \ v(i)\ }$是有序对較小（右）分量為${\displaystyle \ i\ }$的逆序數[3]。

${\displaystyle \ v(i)\ }$是在${\displaystyle \ \pi \ }$之中于${\displaystyle \ i\ }$之前，大于${\displaystyle \ i\ }$的元素的數量。

${\displaystyle v(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi ^{-1}(k)<\pi ^{-1}(i)\}}$

其更符合直觉的定义方式为：

${\displaystyle \ v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}\ }$是在${\displaystyle \ \pi \ }$之中于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$之前，大于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$的元素的数量。

${\displaystyle v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}~~=~~\#\{k\mid k<i~\land ~\pi (k)>\pi (i)\}~~=~~l(i)}$

后者定义也适用于没有反向对应者的序列。

左逆序計數${\displaystyle \ l\ }$：
采用基于位置的定義，${\displaystyle \ l(i)\ }$是有序对較大（右）分量為${\displaystyle \ l(i)\ }$的逆序數。

${\displaystyle \ l(i)\ }$是在${\displaystyle \ \pi (i)\ }$之中于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$之前，大于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$的元素的數量。

${\displaystyle l(i)~~=~~\#\left\{k\mid k<i~\land ~\pi (k)>\pi (i)\right\}}$

右逆序計數${\displaystyle \ r\ }$，通常稱為Lehmer碼：
采用基于位置的定義，${\displaystyle \ r(i)\ }$是有序对較小（左）分量為${\displaystyle \ i\ }$的逆序數。

${\displaystyle \ r(i)\ }$是${\displaystyle \ \pi (i)\ }$之中于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$之後，小于${\displaystyle \ \pi (i)\ }$的元素的數量。

${\displaystyle r(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi (k)<\pi (i)\}}$

${\displaystyle \ l\ }$和${\displaystyle \ v\ }$之间的关系：

${\displaystyle v(i)~~=~~l{\bigl (}\pi ^{-1}(i){\bigr )}}$

${\displaystyle l(i)~~=~~v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}}$

${\displaystyle \ l\ }$的第一个数字和${\displaystyle \ v\ }$的最后一个数字总是${\displaystyle \ 0\ }$，可以省略。

Rothe圖可以協助找出${\displaystyle \ v\ }$和${\displaystyle \ r\ }$。Rothe圖是以黑點來表示1的排列矩陣，每一個位置上若為逆序（通常以叉號表示），則在其右側與下方即有一點。${\displaystyle \ r(i)\ }$是圖中第${\displaystyle \ i\ }$列排列逆序的加總，而${\displaystyle \ v(i)\ }$是${\displaystyle \ i\ }$欄中排列逆序的加總。排列矩陣的逆矩阵即是此矩陣的轉置矩陣，因此某一排列的${\displaystyle \ v\ }$即是它轉置矩陣的${\displaystyle \ r\ }$，反之亦然。

${\displaystyle \ r\ }$和${\displaystyle \ l\ }$之间的关系：

${\displaystyle \pi (i)~~=~~i+r(i)-l(i)}$