阶梯形矩阵

简化阶梯形矩阵或簡約梯形式矩陣（），也称作规范形矩阵（），如果满足额外的条件：

• 每个首项系数是1，且是其所在的唯一的非零元素。例如：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

注意，这并不意味着简化阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是简化阶梯形矩阵：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&1/2&0&b_{1}\\0&1&-1/3&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

因为第3并不包含任何的首项系数。

通过有限步的初等变换，任何矩阵可以变换为阶梯形矩阵。由于初等变换保持了矩阵的空间，因此阶梯形矩阵的空间与变换前的原矩阵的空间相同。

阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化阶梯形矩阵是唯一的。

如果一个线性方程组的增广矩阵是阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是阶梯形矩阵。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是简化阶梯形矩阵。

定义： ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&1&a_{4}&a_{5}\\0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}$

例子： ${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&8&9\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}1&-6&33\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]}$

错误示例： ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-8\\0&1&0&0\\0&4&1&26\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-29&3\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&6&7\\0&0&1\end{array}}\right]}$

注：

• 矩阵1：第二的第一非零项1的下方的项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是阶梯型矩阵。

• 矩阵2：全为零的应该在非全为零的下方，见定义第三条，所以不是阶梯型矩阵。

• 矩阵3：k+1比k的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是阶梯型矩阵。

简化阶梯形矩阵的例子： ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccccc|c}1&9&0&5&0&17\\0&0&1&0&0&-3\\0&0&0&0&1&32\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}}\right]}$

• 高斯消元法
• 高斯-若爾當消元法
• 初等变换

1. Leon, Steve, 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290

• 矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵与矩阵的秩
• Interactive Row Echelon Form with rational output （页面存档备份，存于）

維基教科書中的相關電子：Row Reduction and Echelon Forms