格朗沃尔不等式

如果设

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

是以下微分方程

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}$

其中 v(a) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}$

对所有的 t > a 成立，因此

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}$

于是格朗沃尔不等式得证。

(a) 定义

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$

则运用复合函数求导法则中的乘積法則、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}$，

由于注意到括号中的部分小于 α，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v(a) = 0，因此积分式等价于：

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$

再运用第一步里 v(t) 的定义，就得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}$。

最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}$。