格蘭傑因果關係

最初版的格蘭傑因果測試，有時候無法發現真正的因果關係。因為雖然對於認定因果關係而言，理論上還必須控制其他可能的干擾因素，但在 Granger 最初提出這套因果測試的版本中，並未納入干擾變數的分析，而是假設其他可能解釋變數的資訊包含在${\displaystyle y}$的落後值中。如果事實上帶來因果關係的是第三變數（干擾變數），亦即若事實上操控 ${\displaystyle x}$ 並無法改變 ${\displaystyle y}$ ，格蘭傑因果關係的零假設仍然可能被拒絕。因此標準版的格蘭傑因果測試結果可能會產生誤導性。

1980年代由其他的計量經濟學家對Granger測試加以修改、擴充，將可能的第三（以上）變數納入測試，成為使用追蹤資料的向量自迴歸模型（英語：）。相較於最初版的 Granger 測試，擴充版可以產生更有效的估計結果。[4]

1. 令${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$為廣義平穩序列。如要檢測${\displaystyle x}$非${\displaystyle y}$的格蘭傑原因之零假設，首先引入${\displaystyle y}$的滯後值建立${\displaystyle y}$的自迴歸模型（AR model on ${\displaystyle y}$）：

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+...+a_{m}y_{t-m}+residual_{t}.}$

所有的${\displaystyle y}$滯後值中：(1) 在迴歸分析中具有顯著性（根據t-統計值的p值來判斷）的，且 (2) 這期滯後值加入模型後可提高迴歸模型的解釋力（根據迴歸分析的F檢定）的－－將被留在模型中。${\displaystyle m}$表示的是${\displaystyle y}$變量滯後期中檢定為顯著的時間上最早一個。

2. 接著，引入${\displaystyle x}$的滯後值建立增廣迴歸模型：

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+...a_{m}y_{t-m}+b_{p}x_{t-p}+...+b_{q}x_{t-q}+residual_{t}.}$

所有的${\displaystyle x}$滯後值中：(1) 在迴歸分析中具有顯著性（根據t檢驗的p值來判斷）的，且 (2) 這期滯後值加入模型後可提高迴歸模型的解釋力（根據迴歸分析的F檢定）的－－將被留在模型中。在以上增廣迴歸模型中，${\displaystyle p}$代表${\displaystyle x}$變量滯後值中檢定為顯著的時間上最早一個，${\displaystyle q}$則是${\displaystyle x}$變量滯後值中檢定為顯著的時間上最近一個。

3. 如果沒有任何${\displaystyle x}$的滯後值被留在模型中，無格蘭傑因果關係的零假設就成立。

一些統計軟體可以執行Granger causality test。例如：Stata、SPSS[5]、EViews[6]、R語言。

這裡舉個R語言中lmtest程序庫裡grangertest()指令的例子：

Granger causality test

Model 1: fii ~ Lags(fii, 1:5) + Lags(rM, 1:5)
Model 2: fii ~ Lags(fii, 1:5)
  Res.Df  Df      F  Pr(>F)
1    629
2    634   5 2.5115 0.02896 *
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Granger causality test

Model 1: rM ~ Lags(rM, 1:5) + Lags(fii, 1:5)
Model 2: rM ~ Lags(rM, 1:5)
  Res.Df  Df      F Pr(>F)
1    629
2    634   5 1.1804 0.3172

模型1檢驗將滯後的rM從解釋FII的回歸模型中移除是否可行，答案是不可行的（因為p值 = 0.02896）。但由模型1和模型2的組合可發現從解釋rM的模型中移除FII的滯後值是可能的。我們可以由此斷定rM是FII的格蘭傑原因，反之則不成立。