梅尔曼–瓦格纳定理

若 φ 是高斯自由场（一种纯量场），m是质量，维度d=2；传播子是：

${\displaystyle G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$

若m=0，

${\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (x).}$

因为高斯定律，

${\displaystyle E={1 \over 2\pi r}.}$

${\displaystyle G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)}$

若${\displaystyle r\to 0,\infty }$，${\displaystyle G(r)\to \pm \infty }$，所以一维或二维的纯量场没有明确定义的平均值。

参见墨西哥帽模型。

d=2的O(2)模型没有自发对称破缺，但是有别列津斯基-科斯特利茨-索利斯相变。

（量子相變不受影响。）

两相是：

1、 ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$

${\displaystyle r/\xi \gg 1}$

2、冪定律

(a ≪ r ≪ ξ

a 是晶格常數

[1]

${\displaystyle H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.}$

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[11][12]