標記 (幾何)

較正式的多胞形標記的定義為，n維多胞形的標記ψ是一個集合{F₋₁, F₀, ..., F_n}，使得F_i ≤ F_i+1，其中−1 ≤ i ≤ n − 1，並且對於每個i，ψ中恰好存在一個的F_i，其中i滿足−1 ≤ i ≤ n。[2][3]但是，由於維度最小的元素F₋₁和維度最大的元素F_n必須在每個標記中，因此在表達一個標記時通常會被省略，並且有時會被稱為不標準的多面體元素。[4]

舉例來說，一個多面體的標記會包含一個頂點、一條含前述頂點的稜、一個含前述稜的面以及一個空多胞形和多面體本身。[5]

如果一個幾何圖形或結構的對稱性可以在其標記上傳遞的，則這個個幾何圖形或結構可以被認為是正圖形。[6] 但這個定義並不包括手性圖形[7]。

在探討具有在其元素上定義重合關係（具有對稱和反射關係）的集合，即更抽象的重合幾何環境中，標記是一組互相具有重合關係的元素。[16]^:3這種抽象概念概括了多面體幾何學中的標記概念以及線性代數中的標記概念。[17]

秩為r的重合幾何物件（Ω, I）可以被分割成集合Ω₁, Ω₂, ..., Ω_r，使得每個集合的每個最大的標記恰好在一個元素中，其中最大的標記代表著不包含在任何標記中的標記。在此例中，Ω_j的元素稱為j類元素。因此，在秩為r的重合幾何物件中，每個最大標記都恰好具有r個元素。[18]

秩為2的重合幾何物件通常稱為重合結構，在重合結構中，類型為1類的元素稱為點，類型為2類的元素稱為區塊（某些情況稱為線）[16]^:5

重合結構是一個三元組D = (V, B, I)，其中V和B是任意兩兩不交的集合，I是V和B之間的二元關係，即I ⊆ V × B。其中V的元素稱為點、B的元素稱為區塊、I的元素稱為標記。[19]

在正多胞形中，標記可以用於簡化正多胞形的定義。一般正多胞形的定義是要同時滿足每個維度上的每個元素在其對稱性上可以傳遞，該圖形才屬於正圖形，例如正多面體[20][21]，其中特性可傳遞，簡稱可遞，意味著若該幾何結構中任意兩個同類元素元素A和B，透過在該幾何結構的對稱性下的變換（如旋轉或鏡射這個幾何結構），使A移動到B原來的位置時，其元素仍然佔據了相同的空間區域[22]。然而標記是指個包含所有維度中元素，每個維度的元素個一個的集合，因此透過討論標記可遞與否就能判斷該立體是否為正圖形[6]，然而此定義無法確認手性圖形是否為正圖形[7]。

• 正圖形