欧拉定理 (几何)

(1)當${\displaystyle d=0}$時，表示外心${\displaystyle O}$與內心${\displaystyle I}$重合，此時易證三角形${\displaystyle \displaystyle ABC}$為正三角形，且${\displaystyle R=2r}$，因此${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。

(2)當${\displaystyle d}$大於${\displaystyle 0}$時，請參考右下圖：

(a)设三角形${\displaystyle ABC}$的外心为${\displaystyle O}$，内心为${\displaystyle I}$，延长${\displaystyle AI}$交外接圆于${\displaystyle L}$，则${\displaystyle L}$为弧${\displaystyle BC}$的中点。连${\displaystyle LO}$延长交外接圆于${\displaystyle M}$，过${\displaystyle I}$作${\displaystyle ID}$垂直于${\displaystyle AB}$，${\displaystyle D}$为垂足，则${\displaystyle ID=r}$。易证三角形${\displaystyle \displaystyle ADI}$与三角形${\displaystyle \displaystyle MBL}$相似，故${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$，即${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$。所以${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$。

(b)连接${\displaystyle \displaystyle BI}$，因

${\displaystyle \angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$，

${\displaystyle \angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}}$，

所以${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$，有${\displaystyle \displaystyle BL=IL}$，由(a)的結論知${\displaystyle AI\cdot IL=2Rr}$。

(c)設${\displaystyle \displaystyle OI}$延长线交外接圆于${\displaystyle \displaystyle P,\;\displaystyle Q}$ 两点，则${\displaystyle PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr}$，所以${\displaystyle \displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$，即${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。