歸一條件

一般而言，波函數 ${\displaystyle \psi }$ 是一個複函數。可是，${\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}}$ 是一個實函數，大於或等於 ${\displaystyle 0}$ ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 ${\displaystyle [x,\ x+\Delta x]}$ 內，找到粒子的機率 ${\displaystyle \Delta P}$ 是

${\displaystyle \Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x}$ ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是 ${\displaystyle 1}$ 。所以，積分於整個一維空間：

${\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1}$ 。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 ${\displaystyle \psi }$ ，其機率 ${\displaystyle P}$ 是有限的，但不等於 ${\displaystyle 1}$ ，則可以將波函數 ${\displaystyle \psi }$ 乘以一個常數，使機率 ${\displaystyle P}$ 等於 ${\displaystyle 1}$ 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 ${\displaystyle P}$ 等於 ${\displaystyle 1}$。

在一維空間內，束縛於區域 ${\displaystyle [0,\ \ell ]}$ 內的一個粒子，其波函數是

${\displaystyle \psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}}$ ；

其中，${\displaystyle k}$ 是波數，${\displaystyle \omega }$ 是角頻率，${\displaystyle A}$ 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 ${\displaystyle A}$ 。將波函數代入：

${\displaystyle \mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}}$ 。

積分於整個粒子存在的區域：

${\displaystyle \int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1}$ 。

稍加運算，

${\displaystyle A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)}$ 。

歸一化的波函數是：

${\displaystyle \psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$ 。

薛丁格方程為

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle V(x)}$ 是位勢，${\displaystyle E}$ 是能量。

將波函數 ${\displaystyle \psi }$ 歸一化為 ${\displaystyle \psi \,'=A\psi }$ 。則薛丁格方程成為

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)}$

${\displaystyle \Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$ 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 ${\displaystyle \psi }$ 和 ${\displaystyle \psi \,'}$ 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 ${\displaystyle A}$ 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 ${\displaystyle \psi (x,\ t)}$ 滿足薛丁格方程與歸一條件：

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$ ，

${\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1}$ ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 ${\displaystyle P}$ 不含時間。為了顯示這一點，先計算 ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ ：

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx}$ 。

展開被積函數

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$ 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數 ${\displaystyle \psi }$ 對於時間的偏導數：

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi }$ 。

共軛波函數 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 對於時間的偏導數為

${\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}}$ 。

將 ${\displaystyle \psi }$ 與 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 代入被積函數

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}}$。

代入 ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ 的方程式:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]}$ 。

可是，在 ${\displaystyle x=\pm \infty }$ ，${\displaystyle \psi }$ 與 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 都等於 0 ．所以，

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0}$ 。

機率 ${\displaystyle P=1}$ 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

• Griffiths, David J. . Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

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• Middlebury 大學講義：歸一化