量子態

設想在某經典系統裏，有一個粒子移動於一維空間，在時間${\displaystyle t=0}$，粒子的位置${\displaystyle q}$是${\displaystyle q_{0}}$，動量${\displaystyle p}$是${\displaystyle p_{0}}$。這些初始條件設定了這系統在時間${\displaystyle t=0}$的狀態${\displaystyle \sigma _{0}}$。經典力學具有決定性，若知道粒子的初始條件與作用於粒子的外力，則可決定粒子的運動行為。

在實驗方面，製備經典系統在時間${\displaystyle t=0}$的狀態${\displaystyle \sigma _{0}}$。稍後，在時間${\displaystyle t>0}$，若想知道這系統的物理狀態${\displaystyle \sigma (t)}$，可以測量這粒子的運動參數，即位置${\displaystyle q(t)}$與動量${\displaystyle p(t)}$。其它物理量，像加速度、動能等等，都是這兩個物理量的函數。

在理論方面，假設經典系統在${\displaystyle t=0}$的狀態是${\displaystyle \sigma _{0}}$，則應用牛頓運動定律，即可計算出這系統在任何時間${\displaystyle t>0}$的可觀察量數值。這些數值應該符合實驗測量的結果。標記這些數值為${\displaystyle p(t)}$與${\displaystyle q(t)}$。例如，假設粒子以等速移動，則

${\displaystyle p(t)=p_{0}}$、

${\displaystyle q(t)=p_{0}t/m+q_{0}}$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子質量。

實驗的過程可以按照先後順序細分為製備與測量兩個步驟。在統計實驗（statistical experiment）裏，雖然以同樣的方法製備多個物理系統，然後以同樣的方法進行測量，仍舊不能可靠地獲得出同樣的結果，但是，假若經過很多次重複地製備與測量，則會發覺，同樣結果的出現頻率會收斂至某固定值。量子力學也具有類似特性，雖然每一次測量能夠很準確地獲得粒子運動地數據，但不能準確預測對於可觀察量做單次測量而獲得的結果，只能夠給出各種可能獲得的結果與獲得這結果的機率分佈，這是因為製備步驟必須遵守不確定性原理。[4]^:44-45

在量子系統裏，量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量${\displaystyle S_{z}}$分裂成兩道，一道的${\displaystyle S_{z}}$為上旋，量子態為${\displaystyle \left\vert \uparrow \right\rangle }$或${\displaystyle \left\vert z+\right\rangle }$，另一道的${\displaystyle S_{z}}$為下旋，量子態為${\displaystyle \left\vert \downarrow \right\rangle }$或${\displaystyle \left\vert z-\right\rangle }$。又例如，假若等待足夠長久時間，就可以使得量子系統衰變至基態，前提是從激發態只能朝著無窮遠發射出能量，永遠不會反射回來。這樣，就可以製備出基態。[4]^:206-209再照射適當頻率的激光，則可製備出指定的激發態。

在實驗方面，量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次實驗的測量結果通常不會一樣，只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值，才是可複製的數值。假設，在每次實驗裏，在時間${\displaystyle t=0}$，量子系統的量子態為${\displaystyle \left\vert \sigma _{0}\right\rangle }$。稍後，在時間${\displaystyle t>0}$，測量這粒子在各個量子系統的可觀察量${\displaystyle q(t)}$或${\displaystyle p(t)}$，則能獲得在時間${\displaystyle t>0}$這些可觀察量的統計平均值。特別注意，對於這兩種可觀察量並不是一起進行測量，而是獨立分開進行測量。更詳細地說，重複地做很多次同樣的實驗，測量可觀察量${\displaystyle q(t)}$。由於這可觀察量是隨機變量，所以無法可靠地複製同樣結果。但是，假若重複次數足夠多（概念而言，無窮多），則能獲得在時間${\displaystyle t>0}$這可觀察量${\displaystyle q(t)}$的統計平均值。類似地，重複地做很多次同樣的實驗，測量可觀察量${\displaystyle p(t)}$，也能獲得在時間${\displaystyle t>0}$這可觀察量${\displaystyle p(t)}$的統計平均值。

在理論方面，假設量子系統在${\displaystyle t=0}$的量子態是${\displaystyle \left\vert \sigma _{0}\right\rangle }$，應用埃倫費斯特定理，可以計算出可觀察量在任何時間${\displaystyle t>0}$的期望值。這期望值應該完全符合實驗獲得的統計平均值。標記這些期望值為${\displaystyle \langle q(t)\rangle }$、${\displaystyle \langle p(t)\rangle }$。假設沒有任何外力作用於自由移動的粒子，則

${\displaystyle \langle p(t)\rangle =\langle p(0)\rangle }$、

${\displaystyle \langle q(t)\rangle =\langle p(0)\rangle t/m+\langle q(0)\rangle }$。

位置的期望值與動量的期望值表現出類似經典力學的運動行為。在量子力學裏，量子態可以預測所有測量可觀察量的實驗統計結果。

量子系統的每一種可觀察量都有其對應的量子算符。將這量子算符作用於量子態，可以詮釋為測量其量子系統的可觀察量。在前一節量子力學論述裏，量子算符${\displaystyle q(t)}$，${\displaystyle p(t)}$被設定為與時間有關，而量子態則在初始時間${\displaystyle t=0}$就被固定為${\displaystyle |\sigma _{0}\rangle }$，與時間無關。這種理論方法稱為海森堡繪景。另一種稱為薛丁格繪景的理論方法設定量子算符與時間無關，又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面，這兩種繪景等價，推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛丁格繪景，通過生動活潑的量子態，學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨著時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像對稱性或守恆定律的基礎論題領域，例如量子場論，或者研究超大自由度系統的學術，例如統計力學。[5]

在量子力學裏，數學運算時常用到線性算符、內積、對偶空間與厄米共軛等概念。為了讓運算更加簡易、更加抽象，為了讓使用者不需要選擇表現空間，保羅·狄拉克發明了狄拉克標記。這種標記法能夠精準地表示各種各樣的量子態與其相關運算，簡略表述如下：

• 向量的標記形式為${\displaystyle |\psi \rangle }$；其中${\displaystyle \psi }$可以是任何符號，字母，數字，或單字。這與一般的數學標記形式顯然地不同；通常，向量是以粗體字母，或者在上方加了一個矢號的字母來標記。
• 稱向量為「右矢」。
• 對於每一個右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，都獨特地存在一個對應的左矢${\displaystyle \langle \psi |}$，左矢與右矢指的是同一個量子態。在數學裏，左矢與右矢分別是彼此的厄米共軛，左矢屬於另外一個希爾伯特空間，稱為對偶空間。假設右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$的維度為有限值，則可以將右矢寫為豎排，左矢寫為橫排；取右矢的厄米共軛（即取轉置運算加上共軛複數運算），就可以得到左矢。
• 左矢${\displaystyle \langle \phi |}$與右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$的內積，可以寫為${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$。這內積的物理意義為量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$處於量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$的機率幅。[1]^:50

量子理論只能從量子態計算出可觀察量的機率分佈，因此只能預測可觀察量的機率分佈，除了一些特別案例之外，不能準確預測（機率小於1）對可觀察量做測量獲得的數值，這反映出經典物理與量子物理之間的重要差異，在經典力學裏，測量的結果本質上是決定性的，而不是機率性的。儘管如此，在量子力學裏，對於任意可觀察量，必定存在一組本徵態。假設量子系統的量子態是其中任意本徵態，則測量這量子系統的可觀察量得到的數值必定等於其對應的本徵值，量子力學可以準確預測這本徵值

反過來說，假設給定了量子系統所有可觀察量的機率分佈，則可決定量子系統的量子態。[4]^:46-47但是，決定量子態，並不一定需要所有可觀察量的機率分佈；大多數時候，只需要給定某些可觀察量的機率分佈，就可以決定量子態，其它可觀察量的機率分佈，可以從量子態計算出來。

假設，某量子系統的可觀察量標記為${\displaystyle O}$，其對應的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$，可能有很多不同的本徵值${\displaystyle O_{i}}$與對應的本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，這些本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots }$，形成了具有正交歸一性的基底：[2]^:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$是克羅內克函數。

描述這量子系統的量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，可以用這基底表示為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是複係數，是量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$處於量子態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$的機率幅。[1]^:50

重複地做很多次同樣的實驗，在每次實驗裏，量子系統的量子態都設定為${\displaystyle |\psi \rangle }$，則對於每一個量子系統的可觀察量${\displaystyle O}$做測量，可能得到的結果是各種本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$的本徵值${\displaystyle O_{i}}$，獲得這些不同結果的次數具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為${\displaystyle O_{i}}$的機率是${\displaystyle |c_{i}|^{2}}$。

假設測量的結果是本徵值${\displaystyle O_{i}}$，則可以推斷測量後的量子態是本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$。假若立刻再測量可觀察量${\displaystyle O}$，由於量子態仍舊是本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，所得到的測量值是本徵值${\displaystyle O_{i}}$的機率為1，量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$是「確定態」。

設想另一種可觀察量${\displaystyle R}$，其對應的算符${\displaystyle {\hat {R}}}$與算符${\displaystyle {\hat {O}}}$的對易關係為

${\displaystyle [{\hat {R}},{\hat {O}}]\neq 0}$，

稱這兩種可觀察量為不相容可觀察量。假若立刻再對本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$測量可觀察量${\displaystyle R}$，則又會得到統計性的答案。

假設，某量子系統的可觀察量標記為${\displaystyle O}$，其對應的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$，可能有很多不同的本徵值${\displaystyle O_{i}}$與對應的本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，這些本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots }$，形成了具有正交歸一性的基底。[2]^:96-99描述這量子系統的量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，可以用這基底的本徵態表示為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是複係數，是量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$處於量子態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$的機率幅。[1]^:50

${\displaystyle c_{i}}$是${\displaystyle |\psi \rangle }$與${\displaystyle |{e_{i}}\rangle }$的內積：

${\displaystyle c_{i}=\langle {e_{i}}|\psi \rangle }$。

因此，${\displaystyle |\psi \rangle }$可以表示為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle {e_{i}}|\psi \rangle }$。

定義投影算符${\displaystyle {\hat {\Lambda }}_{i}}$為

${\displaystyle {\hat {\Lambda }}_{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ |e_{i}\rangle \langle {e_{i}}|}$。

投影算符${\displaystyle {\hat {\Lambda }}_{i}}$作用於量子態，投射出平行於${\displaystyle |{e_{i}}\rangle }$的部分：

${\displaystyle {\hat {\Lambda }}_{i}|\psi \rangle =|{e_{i}}\rangle \langle {e_{i}}|\psi \rangle =c_{i}|{e_{i}}\rangle }$。

量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$是所有投影部分的總和：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|{e_{i}}\rangle \langle {e_{i}}|\psi \rangle =\sum _{i}{\hat {\Lambda }}_{i}|\psi \rangle }$；

由於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$可以是任意量子態，因此，基底量子態具有閉包性，或完備性：

${\displaystyle \sum _{i}{\hat {\Lambda }}_{i}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle {e_{i}}|=1}$；

其中，在公式最右邊的${\displaystyle 1}$代表單位算符。

由於這基底滿足正交歸一性，

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|c_{i}|^{2}=1}$。

位置${\displaystyle x}$是一種連續的可觀察量，具有連續的本徵值譜：

${\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }$；

其中，${\displaystyle {\hat {x}}}$是對應於可觀察量${\displaystyle x}$的算符，${\displaystyle |x\rangle }$是本徵值為${\displaystyle x}$的連續本徵態。

對於這連續本徵態${\displaystyle |x\rangle }$所組成的基底，必須將前一節提到的離散和，加以修改為積分：

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle }$。

又必須將克羅內克函數改變為狄拉克δ函數：

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$。

由於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$可以是任意量子態，因此，連續基底量子態具有閉包性，或完備性：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ |x\rangle \langle x|=1}$。

由於這基底滿足正交歸一性，

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \langle \psi |x'\rangle \langle x'|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \delta (x-x')\langle \psi |x'\rangle \langle x|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ |\langle x|\psi \rangle |^{2}=1}$。

從這方程式，可以推論${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\mathrm {d} x}$是粒子處於位置${\displaystyle x}$與${\displaystyle x+\mathrm {d} x}$之間的機率。

內積${\displaystyle \langle x|\psi \rangle }$就是波動力學的波函數${\displaystyle \psi (x)}$：

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }$。

雙縫實驗草圖，從光源${\displaystyle a}$散發出來的單色光，照射在一座有兩條狹縫${\displaystyle b}$與${\displaystyle c}$的不透明擋牆${\displaystyle S2}$。在擋牆的後面，設立了一個照相底片或某種偵測屏障${\displaystyle F}$，用來紀錄到達${\displaystyle F}$的任何位置${\displaystyle d}$的光波數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光波在偵測屏障${\displaystyle F}$的干涉圖樣

假設某量子系統的量子態可能是${\displaystyle |\alpha \rangle }$或${\displaystyle |\beta \rangle }$這兩個不同的歸一化量子態，則這量子系統也可能處於它們線性疊加而成的量子態${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$（可能尚未歸一化）。假設${\displaystyle \theta }$為實數，則雖然量子態${\displaystyle e^{i\theta }|\beta \rangle }$與${\displaystyle |\beta \rangle }$對應於同樣的量子態，他們並無法互相替換。例如，${\displaystyle |\alpha \rangle +|\beta \rangle }$和${\displaystyle |\alpha \rangle +e^{i\theta }|\beta \rangle }$是兩個不同的量子態。但是，${\displaystyle |\alpha \rangle +|\beta \rangle }$和${\displaystyle e^{i\theta }(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )}$對應於同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。

例如，在雙縫實驗裏，光子的量子態是兩個不同量子態的疊加。其中一個量子態是通過狹縫${\displaystyle b}$。另外一個量子態是通過狹縫${\displaystyle c}$。光子抵達偵測屏障的位置${\displaystyle d}$，這位置離開兩條狹縫的距離之差值${\displaystyle bd-cd}$，與兩個量子態的相對相位有關。由於這相對相位，在偵測屏障的某些位置，會造成相长干涉，在另外一些位置，會造成相消干涉。

再舉一個例子，拉比振動，可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統，兩個本徵態的本徵能級不一樣。那麼，因為態疊加的相對相位隨著時間而改變，疊加後的量子態會反復不停地振動於兩個本徵態。