PID控制器

不同比例增益K_p下，受控變數對時間的變化（K_i和K_d維持定值）

比例控制考慮当前誤差，误差值和一个正值的常数K_p（表示比例）相乘。K_p只是在控制器的输出和系统的误差成比例的时候成立。比如说，一个电热器控制器是在目標溫度和實際溫度差10°C時有100%的輸出，而其目標值是25°C。那么它在15°C的时候会输出100%，在20°C的时候会输出50%，在24°C的时候输出10％，注意在误差是0的时候，控制器的输出也是0。

比例控制的輸出如下：

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}}$

若比例增益大，在相同誤差量下，會有較大的輸出，但若比例增益太大，會使系統不穩定。相反的，若比例增益小，若在相同誤差量下，其輸出較小，因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小，當有干擾出現時，其控制信號可能不夠大，無法修正干擾的影響。

比例控制在誤差為0時，其輸出也會為0。若要讓受控輸出為非零的數值，就需要產生一個穩態誤差或偏移量[lower-alpha 1]。

不同積分增益K_i下，受控變數對時間的變化（K_p和K_d維持定值）

积分控制考慮过去誤差，將误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数K_i。K_i从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会震盪，会在预定值的附近来回变化，因为系统无法消除多余的纠正。通过加上负的平均误差值，平均系统误差值就会漸漸减少。所以，最终这个PID回路系统会在設定值稳定下来。

積分控制的輸出如下：

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }}$

積分控制會加速系統趨近設定值的過程，並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大，趨近設定值的速度越快，不過因為積分控制會累計過去所有的誤差，可能會使回授值出現過衝的情形。

不同微分增益K_d下，受控變數對時間的變化（K_p和K_i維持定值）

微分控制考慮将来誤差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数K_d相乘。这个导数的控制会对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。这个K_d参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。K_d参数对减少控制器短期的改变很有帮助。一些实际中的速度缓慢的系统可以不需要K_d参数。

微分控制的輸出如下：

${\displaystyle D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

微分控制可以提昇整定時間及系統穩定性[8][9]。不過因為純微分器不是因果系统，因此在PID系統實現時，一般會為微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及雜訊[10]。實际上較少用到微分控制，估計PID控制器中只有約20%有用到微分控制[10]。

若PID控制器的參數未挑選妥當，其控制器輸出可能是不穩定的，也就是其輸出發散，過程中可能有震盪，也可能沒有震盪，且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因為過大增益造成，特別是針對延遲時間很長的系統。

一般而言，PID控制器會要求響應的穩定，不論程序條件及設定值如何組合，都不能出現大幅振盪的情形，不過有時可以接受臨界穩定的情形。

PID控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關，也會隨應用而不同。

兩個基本的需求是調整能力（regulation，干擾拒絕，使系統維持在設定值）及命令追隨 （設定值變化下，控制器輸出追隨設定值的反應速度）。有關命令追隨的一些準則包括有上昇時間及整定時間。有些應用可能因為安全考量，不允許輸出超過設定值，也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。

有許多種調試PID控制器參數的方法，最有效的方式多半是建立某種程序，再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差，若是系統的響應時間到數分鐘以上，更可以看出人工調試效率的不佳。

調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路「離線」有關，也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件（例如不加負載），而且控制器的輸出只需考慮理論情況，不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件，控制器的輸出需考慮實際的系統 。若控制迴路可以離線，最好的調試方法是對系統給一個步階輸入，量測其輸出對時間的關係，再用其響應來決定參數。

若需在系統仍有負載的情形進行調試（線上調試），有一種作法是先將${\displaystyle K_{i}}$及${\displaystyle K_{d}}$設為零，增加${\displaystyle K_{p}}$一直到迴路輸出震盪為止，之後再將${\displaystyle K_{p}}$設定為「1/4振幅衰減」（使系統第二次過衝量是第一次的1/4）增益的一半，然後增加${\displaystyle K_{i}}$直到一定時間後的穩態誤差可被修正為止。不過若${\displaystyle K_{i}}$可能會造成不穩定，最後若有需要，可以增加${\displaystyle K_{d}}$，並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值，不過若${\displaystyle K_{d}}$太大會造成響應太快及過衝。一般而言快速反應的PID應該會有輕微的過衝，只是有些系統不允許過衝。因此需要將回授系統調整為過阻尼系統，而${\displaystyle K_{p}}$比造成震盪${\displaystyle K_{p}}$的一半還要小很多。

調整PID參數對其步階響應的影響

調整PID參數對系統的影響如下

齊格勒－尼科爾斯方法是另一種啟發式的調試方式，由John G. Ziegler和Nathaniel B. Nichols在1940年代導入，一開始也是將${\displaystyle K_{i}}$及${\displaystyle K_{d}}$設定為零，增加比例增益直到系統開始等振幅振盪為止，當時的增益稱為${\displaystyle K_{u}}$，而振盪週期為${\displaystyle P_{u}}$，即可用以下的方式計算增益：

齊格勒－尼科爾斯方法

控制器種類	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle K_{i}}$	${\displaystyle K_{d}}$
P	${\displaystyle 0.50{K_{u}}}$	-	-
PI	${\displaystyle 0.45{K_{u}}}$	${\displaystyle 1.2{K_{p}}/P_{u}}$	-
PID	${\displaystyle 0.60{K_{u}}}$	${\displaystyle 2{K_{p}}/P_{u}}$	${\displaystyle {K_{p}}{P_{u}}/8}$

大部份現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試，而是用PID調試及最佳化軟體來達到一致的效果。軟體會收集資料，建立模型，並提供最佳的調試結果，有些軟體甚至可以用參考命令的變化來進行調試。

數學的PID調試會將脈衝加入系統，再用受控系統的頻率響應來設計PID的參數。若是響應時間要數分鐘的系統，建議用數學PID調試，因為用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到，有些數位的迴路控制器有自我調試的程序，利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。

也有其他調試的公式，是依不同的性能準則所產生。許多有專利的公式已嵌入在PID調試軟體及硬體模組中[12]。

一些先進的PID調試軟體也可以在動態的情況下用演算法調整PID迴路，這類軟體會先將程序建模，給微擾量，再根據響應計算參數。

PID控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性，若應用在一些非線性的系統，其效果可能會有變化。以暖通空調中常見的溫度控制，可能是採用主動加熱（用加熱器加熱），但冷卻是使用被動冷卻（不加熱，自然冷卻），其冷卻速度比加熱速度慢很多，輸出若有過衝，下降速度很慢，因此PID控制需調整為不會過衝的過阻尼，以減少或避免過衝，但這也延長了整定時間，使性能變差。

微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻雜訊會有放大效果，因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器，只有一個有限頻寬的微分器或高通濾波器。一般為了移除高頻的雜訊，會在量測時加入低通濾波器，若低通濾波器和微分器對消，濾波效果也就受限了，因此低雜訊的量測設備相當重要。實務上可以使用中值滤波器，調昇濾波效率及實際上的性能[13]。有時可以將微分器關閉，對控制性能的影響不大，此時稱為PI控制器。

積分飽和是理想PID演算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動，其積分量會有大幅的變化，大到輸出值被上下限限制而飽和，因此系統會有過衝，而且即使誤差量符號改變，積分量變小，但輸出值仍被上下限限制，維持在上限（或下限），因此輸出看似沒有變化，系統仍會持續的過衝，一直要到輸出值落在上下限的範圍內，系統的回授量才會開始下降。此問題可以用以下方式處理：

• 在程序變數離開可控制範圍時，暫停積分。
• 讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
• 重新計算積分項，使控制器輸出維持上下限之間的範圍內[14]。

PI控制器的方塊圖

PI控制器（比例-積分控制器）是不用微分單元的PID控制器。

控制器的輸出為

${\displaystyle K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt}$

其中${\displaystyle \Delta }$為設定值SP和量測值PV的誤差：

${\displaystyle \Delta =SP-PV}$.

PI控制器可以用Simulink或Xcos之類的軟體進行建模，方式是使用「flow chart」圖框，其中用以下的拉氏運算子：

${\displaystyle C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}}$

其中

${\displaystyle G=K_{P}}$ = 比例增益

${\displaystyle G/\tau =K_{I}}$ = 積分增益

${\displaystyle G}$值的選擇需在減少過衝以及增加安定時間之間取捨。

微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感，PI控制器因為沒有微分單元，在訊號雜訊大時，在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢，因此相較於調適到最佳值的PID控制器，PI控制器會較慢到達設定值，受干擾後也比較慢恢復到正常值。

PDF控制（pseudo-derivative feedback control）可以視為是PI控制器的變體，比例控制器的輸入由誤差值改為回授值[15]。

許多PID迴路是控制機械元件（例如閥）。機械保養是一筆可觀的費用，磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是不動作區，都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話，PID迴路可以有輸出的遲滯現象以減少輸出狀態的改變。若變化小，仍在不動作區內，讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區，實際的狀態才會隨之變化。

若系統的設定值有步階變化，比例單元和微分單元也會有對應的變化，特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大，因此有些PID演算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。

設定值斜坡變化

此修改方式下，設定值會用線性或是一階濾波的方式，由原始值變到新的值，避免因為步階變化產生的不連續。

只對程序變數（回授量）微分

此修改下，PID控制器只針對量測的程序變數（PV）微分，不對誤差微分。程序變數是實際的物理量，較不易有瞬間的變化，而誤差可能因為設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。

設定值加權

設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量，誤差量的設定值乘以一個0到1之間的加權，積分單元的誤差量需使用真實的設定值，以避免穩態誤差。這兩個參數不影響對負載變化及量測雜訊的響應，可以提昇對設定點變化的響應。

PID控制器若再配合前饋控制（開迴路控制），可以再提昇其控制性能。在前饋控制中考慮系統的已知資訊（例如理想加速度或是慣量），再將輸出加到PID控制器的控制輸出，以提昇整體的系統性能。前饋量可能是控制輸出主要的部份，而PID控制器只用來補償目標值和開迴路控制器輸出之間的誤差。因為前饋輸出不會受到回授的影響，因此也不會造成系統的振盪，可以在不影響穩定性的條件下提昇系統的響應。前饋可以依目標值及其他量測到的干擾量來產生，目標值加權是一種簡單的前饋控制方式。

例如，在大部份的運動控制系統中，為了要使機械負載加速，致動器要產生更大的力。若用速度環的PID控制器來控制負載速度，比較理想的方式是先得到理想的瞬間加速度值，適量調整加權後再加到PID的輸出中。因此控制器輸出中有一部份是不隨機械速度而改變的輸出，再用PID根據實際輸出和目標的差異去增加或是減少輸出。這類有前饋控制的PID控制器可以加快控制系統的反應速度。

有時PID控制器會規劃為無衝擊（bumpless）的特性，在參數變化時重新計算適當的積分累計值，使輸出不會因參數變化有不連續的改變[16]。

工業上常看到PID控制器，而許多工業相關資料中看到的都是「標準形」的PID，其中比例增益${\displaystyle K_{p}}$也作用在${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$及${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$兩項，和上述「理論」段落看到的形式不同。「標準形」的PID為：

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)}$

其中

${\displaystyle T_{i}}$為積分時間

${\displaystyle T_{d}}$為微分時間

在標準形中，每一個參數有其明確的物理意義，輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定，加上微分項可以預測若控制系統不改變的話，${\displaystyle T_{d}}$時間後的誤差，而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出，希望在${\displaystyle T_{i}}$時間後可以完全消除誤差，而輸出的值會再乘以單一的增益${\displaystyle K_{p}}$。

在理想的平行式PID中，其方程如下：

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

其中的增益和標準形PID係數的關係是：${\displaystyle K_{i}={\frac {K_{p}}{T_{i}}}}$及${\displaystyle K_{d}=K_{p}T_{d}\,}$。平行式PID中的參數都視為單純的增益，最泛用，靈活性也最高，但較沒有物理意義，因此只用在PID的理論處理中，標準形PID雖在數學上比較複雜，在工業中較常使用。

許多情形下，PID控制器處理的變數是無因次的量，是某個最大值的比例，介於0到100%之間，而轉換為實際物理量（如泵浦速率或是水加熱的功率）是在PID控制器外，而這些控制變數是有因次的物理量（例如溫度）。此時${\displaystyle K_{p}}$增益多半不會表示為「每變化一度的輸出」，而會以溫度的形式${\displaystyle 1/K_{p}}$表示，代表「100%輸出下的溫度（變化）」，代表輸出由0變到1（0%變為100%）下的溫度變化。

在大部份的商業控制系統中，是用過程變數取代誤差作為微分項的輸入，其原因是當目標值有不連續變化時，微分控制會產生很大的突波，若目標值不變，改變過程變數的效果和改變誤差相同，因此有些PID控制器會用過程變數作為微分項的輸入，不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)}$

大部份的商業控制系統也提供選擇，讓過程變數作為微分控制及比例控制的輸入，因此誤差只作為積分控制的輸入，這也不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

上述的修改可以避免目標值有不連續變化時，輸出值有對應不連續的變化，若目標值有步階變化，這項調整就相當重要。

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)}$

也有些雙自由度（2-DoF）PID控制架構除了一般的PID控制外，再加上只針對過程變數進行的微分及比例控制，再分別用增益進行調整，目標是同時對目標步階響應以及雜訊抑制都有良好的性能[17]。

有關會將PID控制器進行拉氏轉換：

${\displaystyle G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}}$

PID控制器的拉氏轉換也代表著控制器的傳遞函數，因此可以確認整體系統的傳遞函數。

PID控制器可以寫成以下的形式

${\displaystyle G(s)=K_{d}{\frac {s^{2}+{\frac {K_{p}}{K_{d}}}s+{\frac {K_{i}}{K_{d}}}}{s}}}$

若受控設備的傳遞函數如下：

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$

又令

${\displaystyle {\frac {K_{i}}{K_{d}}}=\omega _{0}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {K_{p}}{K_{d}}}=2\zeta \omega _{0}}$

則

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {K_{d}}{s}}}$

因此若受控設備有不穩定的極點，看似可以用此方式消除，不過實際上有些差異，由干擾到輸出的閉迴路傳遞函數中仍有不穩定的極點，因此仍可能會發散。

另一種PID控制器的表示法為串級型（series）或稱為交互型（interacting）

${\displaystyle G(s)=K_{c}{\frac {(\tau _{i}{s}+1)}{\tau _{i}{s}}}(\tau _{d}{s}+1)}$

其中參數和標準型的參數有以下的關係

${\displaystyle K_{p}=K_{c}\cdot \alpha }$, ${\displaystyle T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha }$

${\displaystyle T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}}$

而

${\displaystyle \alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}}$.

上述作法可表示為二個串級的PD控制器及PI控制器，在早期類比電路的時代較容易實現，雖然控制器已經數位化，不過仍有些維持此形式。

若要在微處理機（MCU）或是FPGA中實現PID控制或是分析其性能，就需要將控制器離散化[18]。一階微分可以用後向有限差分表示，積分項也離散化，若取樣時間為${\displaystyle \Delta t}$，積分項可以用下式近似

${\displaystyle \int _{0}^{t_{k}}{e(\tau )}\,{d\tau }=\sum _{i=1}^{k}e(t_{i})\Delta t}$

微分項可近似為

${\displaystyle {\dfrac {de(t_{k})}{dt}}={\dfrac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

因此PID控制器的離散化可以將${\displaystyle u(t)}$微分，再用一階導數及二階導數的定義求得${\displaystyle u(t_{k})}$，可以得到

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})\right]}$

其中${\displaystyle T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}}$