汉明码

漢明碼的發明者理查德·衛斯里·漢明在1948年，運用貝爾模型V（Bell Model V）電腦於貝爾實驗室（Bell Labs）工作。輸入端是依靠打孔卡（Punched Card），這不免會造成些讀取錯誤。在工作日，當機器檢測到錯誤將停止並閃燈（flash lights），使得操作員能夠解決這個錯誤。在週末和下班期間，沒有操作者的情況下，機器只會簡單地轉移到下一個工作。

漢明在週末工作，他對於不可靠的讀卡機發生錯誤後，總是不得不重新啟動程序變得愈來愈沮喪。在接下来的幾年中，他为了解決偵錯的問題，開發了功能日益強大的偵錯演算法。在1950年，他發表了今日所稱的漢明碼，並且時至今日仍在修正錯誤記憶體上顯示其應用價值。

如果一條信息中包含更多用于纠错的位，且通过妥善安排这些纠错位使得不同的出错位产生不同的错误结果，那麼我們就可以找出出錯位了。在一个7位的信息中，单个位出错有7种可能，因此3个错误控制位就足以確定是否出錯及哪一位出錯了。

漢明研究了包括五取二碼在内的编碼方案，並歸納了他們的想法。

加一個位元在數列的最前面，採用奇校验码或偶校验码， 用以檢驗後面的汉明码是否有錯。

Graphical depiction of the 4 data bits and 3 parity bits and which parity bits apply to which data bits

1950年，漢明发明了(7,4)代碼。其編碼由4資料位元到7位，增加三個奇偶校驗碼。(7,4)漢明碼可以檢測並糾正單位元錯誤，且也能檢測雙位元錯誤。

矩陣${\displaystyle \mathbf {G}$ :={\begin{pmatrix}I_{k}|-A^{T}\\\end{pmatrix}}} 被稱為（標準）生成矩陣線性(n,k)碼。

和${\displaystyle \mathbf {H}$ :={\begin{pmatrix}A|I_{n-k}\\\end{pmatrix}}} 被稱為奇偶檢驗矩陣。

範例

从上述矩阵我们有2^k=2⁴=16码词。

二进制码${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$的码词可以从${\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {a}}G}$得到。对${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$和${\displaystyle a_{i}}$存在${\displaystyle F_{2}}$(一个只有0和1的二元域）。

故此码表即是所有4个三元组（k个三元组）。

因而，（1,0,1,1）编码为（0,1,1,0,0,1,1）。

The same (7,4) example from above with an extra parity bit

(7,4)汉明码可以很容易地编码为一个(8,4)码，通过在(7,4)编码词（参见(7,4)汉明码）上附加一个额外的奇偶位。

这可以用下面修正的矩阵相加：

${\displaystyle \mathbf {G}$ :={\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0&0&1\\1&0&0&1&1&0&0&1\\0&1&0&1&0&1&0&1\\1&1&0&1&0&0&1&0\end{pmatrix}}_{8,4}}

和

${\displaystyle \mathbf {H}$ :={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}}_{4,8}} 。

注意，${\displaystyle \mathbf {H} }$并非用标准形式表示。为了得到${\displaystyle \mathbf {G} }$，原子行操作能够被用来获得一个等价的矩阵对陈形式的${\displaystyle \mathbf {H} }$：

${\displaystyle \mathbf {H} =\left(\left.{\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}}\right|{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)_{4,8}}$。

• 格雷碼
• 漢明距離
• 前向錯誤更正
• 里德-所罗门码

• Moon, Todd K. . New Jersey: John Wiley & Sons. 2005 [2009-06-18]. ISBN 978-0-471-64800-0. （原始内容存档于2008-04-06）.
• MacKay, David J.C. . Cambridge: Cambridge University Press. 2003-09. ISBN 0-521-64298-1. （原始内容存档于2016-02-17）.
• D.K. Bhattacharryya, S. Nandi. . : 410–415. doi:10.1109/ISPAN.1997.645128.

• CGI script for calculating Hamming distances（from R. Tervo, UNB, Canada） （页面存档备份，存于）

1. (PDF). [2016-09-01]. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-17）.