沃瑟斯坦度量

对于一个度量空间${\displaystyle (M,d)}$，假设${\displaystyle M}$上每个博雷尔概率测度都是拉东测度（即该度量空间为拉东空间）。对有限${\displaystyle p\geq 1}$，${\displaystyle P_{p}(M)}$表示${\displaystyle M}$上所有有${\displaystyle p}$阶矩的概率测度${\displaystyle \mu }$的集合，即${\displaystyle M}$中存在${\displaystyle x_{0}}$满足

${\displaystyle \int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty .}$

于是，${\displaystyle P_{p}(M)}$中两个概率测度${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$之间的${\displaystyle p}$阶沃瑟斯坦距离可定义为

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},}$

其中${\displaystyle \Gamma (\mu ,\nu )}$表示${\displaystyle M\times M}$上所有测度的集合，即${\displaystyle \mu }$与${\displaystyle \nu }$的所有耦合组成的集合。

此外，沃瑟斯坦度量也可等效地定义为

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu )=\left(\inf \operatorname {\mathbf {E} } {\big [}d(X,Y)^{p}{\big ]}\right)^{1/p},}$

其中${\displaystyle \mathbf {E} [Z]}$表示随机变量${\displaystyle Z}$的期望值，下确界则由随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的所有联合分布确定，它们分别对应边缘分布${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$。

x轴与y轴上分别绘有两个一维分布${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$，中间是两者一种可能的联合分布（不唯一），而这一联合分布即定义了${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$之间的一个运输方案。

理解上述定义的一种方法是将其与最优运输问题联系起来。对于空间${\displaystyle X}$上的某一质量分布${\displaystyle \mu (x)}$，我们希望以某种方式运输其质量，使其转化同一个空间中的另一分布${\displaystyle \nu (x)}$，即将“土堆”${\displaystyle \mu }$转换为“土堆”${\displaystyle \nu }$。两者的总质量必须相同，因而可以不失一般性地假设${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$是总质量为1的概率分布。此外还需假设代价函数

${\displaystyle c(x,y)\mapsto [0,\infty ),}$

表示从点${\displaystyle x}$运输质量到点${\displaystyle y}$的代价。一个从${\displaystyle \mu }$到${\displaystyle \nu }$的运输方案可以用函数${\displaystyle \gamma (x,y)}$来描述，该函数表明从${\displaystyle x}$移动到${\displaystyle y}$的质量。一个运输方案${\displaystyle \gamma (x,y)}$必须满足以下性质

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} y=\mu (x),\\\int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} x=\nu (y),\end{aligned}}}$

前者表示从某一点${\displaystyle x}$移到其他所有点的土堆总质量必须等于最初该点${\displaystyle x}$上的土堆质量，后者则表示从所有点移到某一点${\displaystyle y}$的土堆总质量必须等于最终该点${\displaystyle y}$上的土堆质量。

这一性质相当于要求${\displaystyle \gamma }$是边缘分布${\displaystyle \mu }$与${\displaystyle \nu }$对应的联合概率分布。于是可得到运输方案${\displaystyle \gamma }$的总代价

${\displaystyle \iint c(x,y)\gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}$

方案${\displaystyle \gamma }$并不是唯一的，所有可能的运输方案中代价最低的方案即为最优运输方案。最优运输方案的代价为

${\displaystyle C=\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}$

如果两点之间移动的代价等于两点之间的距离，那么最小代价则与${\displaystyle W_{1}}$距离等价。