玻尔模型

按照第一個假設，在氢原子中的电子，围绕著原子核做圆周运动，其轨道是经典轨道。电子做圆周运动的向心力是由电子和原子核之间的库仑力所提供：[9]^:1097-1100

${\displaystyle m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}}$，

其中，${\displaystyle m_{e}}$ 是電子質量，${\displaystyle v}$ 是電子速率，${\displaystyle r}$ 是電子軌道半徑，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 是電常數，${\displaystyle e}$ 是基本電荷。

所以，半徑為

${\displaystyle r={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{e}v^{2}}}}$，

另外，圓周運動的角動量大小是半徑乘以動量：

${\displaystyle L=rm_{e}v}$。

所以，按照第二個假設，速度為

${\displaystyle v=L/rm_{e}=n\hbar /rm_{e}}$，

其中，${\displaystyle n}$ 是主量子數，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數。

將速度的表達式代入半徑的表達式，可以得到新的半徑的表達式

${\displaystyle r={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}n^{2}}$。

這軌道半徑表達式可以重寫為

${\displaystyle r=an^{2}}$；

其中，${\displaystyle a={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}\approx 5.29\times 10^{-11}m}$ 是玻爾半徑。

在氫原子的波爾模型裡，以原子核為圓心的電子圓周運動的半徑被量子化，最小的半徑是玻爾半徑。由於電子被禁止離原子核更近，庫侖力無法將電子吸引到原子核裡，電子也不會因為進行圓周運動的加速度而釋出電磁波。

电子繞著原子核的軌道能量 ${\displaystyle E}$ 是动能 ${\displaystyle K}$ 加势能 ${\displaystyle V}$ ：[9]^:1097-1100

${\displaystyle E=K+V={\frac {1}{2}}m_{e}v^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}}$。

將軌道半徑表達式代入軌道能量表達式，可以得到

${\displaystyle E=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\ {\frac {1}{n^{2}}}\approx -{\frac {13.60eV}{n^{2}}}}$。

在氫原子的波爾模型裡，軌道能量被量子化，並與主量子數的平方成反比。這是束縛電子的能量。由於原子核被假設為固定不動，這能量也可以視為整個氫原子的能量。

電子只能夠穩定地存在於一系列的離散的能量狀態之中，稱為定態。假若電子的能量發生任何變化，都必須要在兩個定態之間以跃迁的方式進行，所以电子只能处於一系列分立的定態。当電子從一個定態躍遷至另一個定態時，會以电磁波的形式放出或吸收能量：[9]^:1097-1100

${\displaystyle h\nu =\Delta E=E_{n'}-E_{n}}$，

其中，${\displaystyle \nu }$ 是電磁波的頻率。

將軌道能量表達式代入這公式，可以得到

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$。

將這表達式重寫，可以得到里德伯公式：

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{n'^{2}}}\right)}$。

其中，${\displaystyle R={\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$ 是里德伯常數。

英国光谱学家亞弗列德·福勒质疑：应用玻尔模型计算出里德伯常数的数值${\displaystyle R=109737.315\,\mathrm {cm} ^{-1}}$；而实验值${\displaystyle R=109677.58\,\mathrm {cm} ^{-1}}$，二者相差大约万分之五。1914年，玻尔提出，这是因为原来的模型假设原子核静止不动而引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的約化质量${\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}}$代替了电子质量。这样的话，不同原子的里德伯常数R_A不同，

${\displaystyle R_{A}={\frac {R}{1+m_{e}/M}}}$

电子到质心的距离仍为原来理论中的第一轨道半径，与原子核的质量无关。