波波夫判據

波波夫研討的，是Lur'e系統中的一子集合，可以用下式描述：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=u\\y&=cx+d\xi \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}u=-\varphi (y)\end{matrix}}}$

其中x ∈ Rⁿ、ξ,u,y是純量，A,b,c和d的維度相稱。非線性元件Φ: R → R是在開區間(0, ∞)內的非時變非線性元件，也就是說Φ(0) = 0，針對其他不為零的y值，yΦ(y) > 0 。

波波夫研究的系統在原點有個極點，沒有直接從輸入到輸出的路徑，其u到y的傳遞函數為

${\displaystyle H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b}$

若上述系統符合以下特性

1. A 是赫尔维茨矩陣
2. (A,b) 可控制
3. (A,c) 可觀察
4. d > 0 且
5. Φ ∈ (0,∞)

則系統全域穩定的條件是存在一數r > 0，使得${\textstyle \inf _{\omega \,\in \,\mathbb {R} }\operatorname {Re} \left[(1+j\omega r)H(j\omega )\right]>0.}$

• 圓判據

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar. . Princeton University Press. 2011. ISBN 9781400841042.