圓判據

考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素${\displaystyle \varphi (v,t)}$，假設此元素滿足區間條件${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$（即${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$），而且（為了簡化系統）開迴路系統穩定。則閉迴路系統全域漸近穩定的條件是線性系統的尼奎斯特轨迹不會穿過以X軸上線段${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$為直徑的圓。

考慮非線性系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$

假設

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$ is stable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$

則存在${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$使得針對系統的任意解，下式都成立；

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$

條件3稱為「頻率條件」，條件1稱為「區間條件」。

• 波波夫判據

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar. . Princeton University Press. 2011. ISBN 9781400841042.

• Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion
• Popov and Circle Criterion (Cam UK)（页面存档备份，存于）
• Popov and Circle Criterion (ETH)
• Stability analysis using the circle criterion in Mathematica（页面存档备份，存于）