波矢

理想的一维行波遵循如下方程：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$

其中：

• x为位置；
• t为时间；
• ${\displaystyle \psi }$（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，${\displaystyle \psi }$是超出水面的高度；对於声波，${\displaystyle \psi }$是超气压）；
• A是波的振幅（振动的峰值）；
• ${\displaystyle \varphi }$是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
• ${\displaystyle \omega }$是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
• ${\displaystyle k}$是波数，与波长成反比，由${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$求出。

此波在+x方向上行进，相速度为${\displaystyle \omega /k}$。

推广到三维情况下，方程为：

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}$

其中：

• r是三维空间中的位置矢量；
• ${\displaystyle \cdot }$ 是矢量点积；
• k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数${\displaystyle |{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。波矢的方向是平面波行进的方向。

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}$

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)}$。

不同点在於：

• 晶体学定义使用了频率${\displaystyle \nu }$，而不是角频率${\displaystyle \omega }$，由公式${\displaystyle 2\pi \nu =\omega }$，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
• 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda }$，而在物理学定义中，${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

${\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S ^s，地球位於观测系S ^obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,}$。

只考虑${\displaystyle \mu =0}$分量的情况，得到

${\displaystyle k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,}$。

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{c}}\,}$	${\displaystyle =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,}$
	${\displaystyle \quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,}$ 其中${\displaystyle \cos \theta \,}$是${\displaystyle k^{1}}$关於${\displaystyle k^{0}}$的方向余弦${\displaystyle k^{1}=k^{0}\cos \theta }$。

因此

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,}$

当波源径直地远离观测者时，${\displaystyle \theta =\pi }$，方程变为：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,}$。

当波源径直地接近观测者时，${\displaystyle \theta =0}$，方程变为：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,}$。