準素分解

設 ${\displaystyle R}$ 為交換諾特環，${\displaystyle M}$ 為有限生成之 ${\displaystyle R}$-模。對任一子模 ${\displaystyle N\subset M}$，存在有限多個準素子模 ${\displaystyle M_{i}}$ 使得

${\displaystyle N=\bigcap _{i}M_{i}}$

事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 ${\displaystyle M_{i}}$），且諸準素子模 ${\displaystyle M_{i}}$ 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。

最常見的情形是取 ${\displaystyle M=R}$，並取 ${\displaystyle N=I}$ 為一理想。任取一準素分解 ${\displaystyle I=\bigcap _{i}Q_{i}}$，這些 ${\displaystyle Q_{i}}$ 中的極小者稱為 ${\displaystyle I}$ 的孤立素理想，否則稱為鑲嵌素理想；孤立素理想是 ${\displaystyle I\subset R}$ 的一組不變量。

在幾何上，${\displaystyle I}$ 的孤立素理想對應到仿射概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ 的閉子集 ${\displaystyle V(I)}$ 之不可約成份。

伊曼紐·拉斯克在1905年證明了${\displaystyle R}$ 為多項式環的情形。埃米·諾特在1921年證明上述的推廣版本。職是之故，準素分解的存在性也被稱為拉斯克-諾特定理。

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• O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, Volume 1 and 2, Springer (1975)
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• V. T. Markov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4