潤德勒座標

相對論中，「雙曲加速參考系」[H 1][1]座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。[2][3][4][5]狹義相對論中，一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動；在其固有參考系中，該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述，參見狹義相對論中的加速度。

本文中，光速定義為 $c = 1$ ，慣性座標系為 $(X,Y,Z,T)$ ，雙曲座標系則為 $(x,y,z,t)$ 。這類雙曲座標系可主要分為兩大類，與加速觀察者位置有關：若觀察者時間 $T = 0$ 時位在 $X = 1/ α$ （其中 $α$ 為常數值的固有加速度，由共動的加速規測得），則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」（或譯林德勒座標；英語：），與之相應的是「潤德勒度規」（Rindler metric）[6]若觀察者時間 $T = 0$ 時位在 $X = 0$ ，則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」（Møller coordinates）[1]或「寇特勒-穆勒座標」（Kottler-Møller coordinates），與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」（Kottler-Møller metric）。[7]透過採用雷達座標[8]，可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡（Chart）。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」（Lass coordinates）[9][10] 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。[11]

關於潤德勒座標的歷史，這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入，在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究：與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦（1907年，1912年）[H 2]、馬克斯·玻恩（1909年）[H 1]、阿諾·索末菲（1910年）[H 3]、馬克斯·馮·勞厄（1911年）[H 4]、亨德里克·勞侖茲（1913年）[H 5]、弗里德里希·寇特勒（1914年）[H 6]、沃夫岡·包立（1921年）[H 7]、Karl Bollert（1922年）[H 8]、Stjepan Mohorovičić（1922年）[H 9]、喬治·勒梅特（1924年）[H 10]、愛因斯坦與納森·羅森（1935年）[H 2]、Christian Møller（1943年，1952年）[H 11]、Fritz Rohrlich（1963年）[12]、哈利·拉斯（1963年）[13]；與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性：沃夫岡·潤德勒（1960年，1966年）[14][15]。

潤德勒參考系的特徵

潤德勒圖卡（Rindler chart），方程式(1a)中

\alpha =0.5

，繪於閔考斯基圖上。虛線為潤德勒視界（Rindler horizons）。

以沿 $X$ -direction方向、常數值固有加速度 $\alpha$ 進行雙曲運動的物體，其世界線為原時 $\tau$ 以及快度 $\alpha \tau$ 的函數，關係式為：[16]

T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )

。

其中 $x=1/\alpha$ 為常數， $\alpha \tau$ 為變數。這樣的世界線形態為雙曲線 $X^{2}-T^{2}=x^{2}$ 。阿諾·索末菲[H 3][17]展示了此方程組可重新表示為： $x$ 為變數，而 $\alpha \tau$ 為常數；如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定 $\tau =t$ ，也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間，則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為：[6][9]

$T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z$

(1a)

逆轉換式為：

t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z

對其微分並代入閔考斯基度規 $ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}$ ，則雙曲加速系的度規張量為

$ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

(1b)

參考文獻

Øyvind Grøn. 772. Springer. 2010: 86–91. ISBN 0387881344. |journal=被忽略 (帮助)
Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. . Freeman. 1973. ISBN 0716703440.
Kopeikin,S., Efroimsky, M., Kaplan, G. . John Wiley & Sons. 2011. ISBN 3527408568.
Padmanabhan, T. . Cambridge University Press. 2010. ISBN 1139485393.
N. D. Birrell, P. C. W. Davies. . Cambridge University Press. 1982. ISBN 1107392810. |journal=被忽略 (帮助)
Leonard Susskind, James Lindesay. . World Scientific. 2005: 8-10. ISBN 9812561315.
Muñoz, Gerardo; Jones, Preston. . American Journal of Physics. 2010, 78 (4): 377–383. arXiv:1003.3022 . doi:10.1119/1.3272719.
Minguzzi, E. . Americam Journal of Physics. 2005, 73: 1117–1121. arXiv:physics/0412024 . doi:10.1119/1.2060716.
David Tilbrook. . Australian Journal of Physics. 1997, 50 (5): 851–868. doi:10.1071/P96111.
Jones, Preston; Wanex, Lucas F. . Foundations of Physics Letters. 2006, 19 (1): 75–85. arXiv:physics/0604025 . doi:10.1007/s10702-006-1850-3.
舉例而言，Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系；Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。
Rohrlich, Fritz. . Annals of Physics. 1963, 22 (2): 169–191. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4.
Harry Lass. . American Journal of Physics. 1963, 31 (4): 274–276. doi:10.1119/1.1969430.
Rindler, W. . Physical Review. 1960, 119 (6): 2082–2089. doi:10.1103/PhysRev.119.2082.
Rindler, W. . American Journal of Physics. 1966, 34 (12): 1174–1178. doi:10.1119/1.1972547.
Pauli, Wolfgang, , Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, 1921, 5 (2): 539–776
In English: Pauli, W. 165. Dover Publications. 1981 [1921]. ISBN 0-486-64152-X. |journal=被忽略 (帮助)
von Laue, M. fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”. Vieweg. 1921.; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.
Møller, C. . Oxford Clarendon Press. 1955 [1952].
Desloge, Edward A.; Philpott, R. J. . American Journal of Physics. 1987, 55 (3): 252–261. doi:10.1119/1.15197.
Dolby, Carl E.; Gull, Stephen F. . American Journal of Physics. 2001, 69 (12): 1257–1261. arXiv:gr-qc/0104077 . doi:10.1119/1.1407254.
Massimo Pauri, Michele Vallisneri. . Foundations of Physics Letters. 2000, 13 (5): 401–425. arXiv:gr-qc/0006095 . doi:10.1023/A:1007861914639.
Don Koks. . Springer. 2006: 235-269. ISBN 0387309438.
Blum, A. S., Renn, J., Salisbury, D. C., Schemmel, M., & Sundermeyer, K. . Annalen der Physik. 2012, 524 (1): A12–A13. doi:10.1002/andp.201100705.

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[Gron-2] Øyvind Grøn. 772. Springer. 2010: 86–91. ISBN 0387881344. |journal=被忽略 (帮助)

[mtw-3] Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. . Freeman. 1973. ISBN 0716703440.

[Kop-4] Kopeikin,S., Efroimsky, M., Kaplan, G. . John Wiley & Sons. 2011. ISBN 3527408568.

[Padma-5] Padmanabhan, T. . Cambridge University Press. 2010. ISBN 1139485393.

[Birrell-6] N. D. Birrell, P. C. W. Davies. . Cambridge University Press. 1982. ISBN 1107392810. |journal=被忽略 (帮助)

[Susskind-7] Leonard Susskind, James Lindesay. . World Scientific. 2005: 8-10. ISBN 9812561315.

[Munoz-8] Muñoz, Gerardo; Jones, Preston. . American Journal of Physics. 2010, 78 (4): 377–383. arXiv:1003.3022 . doi:10.1119/1.3272719.

[Minguzzi-9] Minguzzi, E. . Americam Journal of Physics. 2005, 73: 1117–1121. arXiv:physics/0412024 . doi:10.1119/1.2060716.

[Tilbrook-10] David Tilbrook. . Australian Journal of Physics. 1997, 50 (5): 851–868. doi:10.1071/P96111.

[Jones-11] Jones, Preston; Wanex, Lucas F. . Foundations of Physics Letters. 2006, 19 (1): 75–85. arXiv:physics/0604025 . doi:10.1007/s10702-006-1850-3.

[12] 舉例而言，Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系；Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。

[Rohrlich-23] Rohrlich, Fritz. . Annals of Physics. 1963, 22 (2): 169–191. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4.

[Lass-24] Harry Lass. . American Journal of Physics. 1963, 31 (4): 274–276. doi:10.1119/1.1969430.

[Rindler1-25] Rindler, W. . Physical Review. 1960, 119 (6): 2082–2089. doi:10.1103/PhysRev.119.2082.

[Rindler2-26] Rindler, W. . American Journal of Physics. 1966, 34 (12): 1174–1178. doi:10.1119/1.1972547.

[Pauli-27] Pauli, Wolfgang, , Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, 1921, 5 (2): 539–776
In English: Pauli, W. 165. Dover Publications. 1981 [1921]. ISBN 0-486-64152-X. |journal=被忽略 (帮助)

[Laue2-28] von Laue, M. fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”. Vieweg. 1921.; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.

[Møller-29] Møller, C. . Oxford Clarendon Press. 1955 [1952].

[Desloge-30] Desloge, Edward A.; Philpott, R. J. . American Journal of Physics. 1987, 55 (3): 252–261. doi:10.1119/1.15197.

[Dolby-31] Dolby, Carl E.; Gull, Stephen F. . American Journal of Physics. 2001, 69 (12): 1257–1261. arXiv:gr-qc/0104077 . doi:10.1119/1.1407254.

[Pauri-32] Massimo Pauri, Michele Vallisneri. . Foundations of Physics Letters. 2000, 13 (5): 401–425. arXiv:gr-qc/0006095 . doi:10.1023/A:1007861914639.

[Koks-33] Don Koks. . Springer. 2006: 235-269. ISBN 0387309438.

[Blum-34] Blum, A. S., Renn, J., Salisbury, D. C., Schemmel, M., & Sundermeyer, K. . Annalen der Physik. 2012, 524 (1): A12–A13. doi:10.1002/andp.201100705.