物理空间代数

APS中，时空位置可表为副向量

$${\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}$$

其中时间由标绿部分${\displaystyle x^{0}=t}$给出，${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}}$是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是${\displaystyle c=1}$，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为

$${\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}$$

保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现：

$${\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.}$$

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )}$群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：

$${\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}$$

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的${\displaystyle B=B^{\dagger }}$与幺正的${\displaystyle R^{\dagger }=R^{-1}}$，使得

$${\displaystyle L=BR.}$$

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数：

$${\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}$$

定义普通速度为

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}$$

回想伽马因子的定义：

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

于是原速的更紧凑定义是：

$${\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}$$

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：

$${\displaystyle u{\bar {u}}=1.}$$

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为

$${\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}$$

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：

$${\displaystyle p=mu,}$$

质壳条件转化为

$${\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}$$

电磁场可表为双副向量F：

$${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}$$

其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为

$${\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}$$

场F的源是电磁四维电流

$${\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}$$

其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量：

$${\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}$$

当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为

$${\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}$$

此场也可分为电部分

$${\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}}$$

与磁部分

$${\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}}$$

当中

$${\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}$$

且F在下列规范变换下不变：

$${\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}$$

其中${\displaystyle \chi }$是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是

$${\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}$$

麦克斯韦方程组可用单一方程表示：

$${\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}$$

其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为

$${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}$$

电磁拉格朗日量是

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}$$

是实标量不变量。

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