电流密度

大自然有很多種載有電荷的粒子，稱為「帶電粒子」，例如，導電體內可移動的電子、電解液內的離子、電漿內的電子和離子、強子內的夸克[3]。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=qn(\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$是在位置${\displaystyle \mathbf {r} }$、在時間${\displaystyle t}$的電流密度向量，${\displaystyle q}$是帶電粒子的電荷量，${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$是帶電粒子密度，是單位體積的帶電粒子數量，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$是帶電粒子的平均漂移速度。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$是电场，${\displaystyle \mathbf {J} }$是电流密度，${\displaystyle \sigma }$是电导率，是電阻率的倒數。

推导

欧姆定律示意图 电阻公式闡明，一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體長度成正比，與截面面積成反比。以方程式表達， ${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}}$； 其中，${\displaystyle R}$是電阻，${\displaystyle \ell }$是物體长度，${\displaystyle A}$是物體的截面面积，${\displaystyle \rho }$是电阻率。 根據歐姆定律，電壓${\displaystyle V}$等於電流${\displaystyle I}$乘以電阻： ${\displaystyle V=IR}$。 所以， ${\displaystyle V=I\rho {\frac {\ell }{A}}}$。 注意到在物體內，電場與電壓的關係為 ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {V}{\ell }}{\hat {z}}}$； 其中，${\displaystyle {\hat {z}}}$是電流方向。 所以， ${\displaystyle \mathbf {E} =\rho {\frac {I}{A}}{\hat {z}}=\rho \mathbf {J} }$。 電導率為電阻率的倒數，${\displaystyle \sigma =1/\rho }$。電流密度與電場的關係為 ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$。

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '}$和${\displaystyle t'}$分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率${\displaystyle \sigma }$在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的線性響應函數（）推導[4]。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當${\displaystyle \Delta t<0}$時，${\displaystyle \varepsilon _{r}(\Delta t)=0}$，則這積分的上限可以延伸至無窮大：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$。

做一個對於時間與空間的傅立葉變換，根據摺積定理，可以得到

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$；

其中，${\displaystyle \sigma (\mathbf {k} ,\omega )}$是參數為波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$和角頻率${\displaystyle \omega }$的電導率複函數。

許多物質的電導率是張量，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。