狀態觀測器

針對線性系統的狀態觀測器，最常用的是線性觀測器、滑動模式觀測器，也有在線性觀測器中加入立方項的觀測器。以下會說明線性觀測器的結構。

針對非線性系統，最常用的是高增益狀態觀測器、滑動模式觀測器以及擴展觀測器。

為了說明非線性系統中的狀態觀測器，先考慮以下的無輸入非線性系統：

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

其中${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$，也假設有量測輸出${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$如下

${\displaystyle y=h(x).}$

有許多設計觀測器的非近似式作法。以下提到的觀測器也可以適用於有輸入的系統

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+B(x)u,}$

${\displaystyle y=h(x),}$ .

多觀測器（Multi observer）是高增益觀測器的擴展，由一個觀測器到多個觀測器一起使用，可以讓多個模型同時作用。多觀測器會分為二層：一層包括了多個高增益觀測器，有相關同一組狀態旳不同的估測量，第二層決定第一層各估測量的權重。此演算法很容易實現，其中也沒有微分等有危險性的運算[4]。多觀測器的概念最早曾應用在適應控制中，用來取得資訊[10]。

• 
  Multi Observer Schema

假設高增益觀測器有n+1個

${\displaystyle {\dot {\hat {x_{k}}}}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}$ ${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)}$

其中${\displaystyle k=1...n+1}$是觀測器的編號。第一層的觀測器包括了相同的增益${\displaystyle L}$，但其啟始狀態${\displaystyle x_{k}(0)}$不同。在第二層中會將所有${\displaystyle x_{k}(t)}$（${\displaystyle k=1...n+1}$）觀測器的結果合併為一個，以得到單一狀態向量的估測值

${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)}$

其中${\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }$是加權因子。這些因子會改變，以提供第二層的估測用，並且提昇觀測器的效果。

假設

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0}$

且

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1}$

其中${\displaystyle \xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}$是某向量，會和第${\displaystyle k}$個估測器的誤差${\displaystyle e_{k}(t)}$有關。

經過轉換，可以得到以下的線性回歸問題

${\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}$

根據上式，有可能估算${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$。為了要建構流形，需要映射${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$在${\displaystyle \xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))}$之間，並且保證可以用可量測的訊號來計算${\displaystyle \xi _{k}(t)}$。 首先要從觀測器誤差中消除${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$的峰值現象

${\displaystyle e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)}$.

將${\displaystyle \eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)}$針算${\displaystyle n}$的微分,可以找到以下的值${\displaystyle \xi _{k}(t)}$

${\displaystyle \xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}}$

其中${\displaystyle t_{d}>0}$是某時間常數。${\displaystyle \xi _{k}(t)}$和${\displaystyle \eta _{k}(t)}$和其積分有關，因此可以應用在控制系統上。 而且${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$是在估測律中指定，因此此流形可以量測。第二層${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}(t)}$，其中${\displaystyle k=1\dots n+1}$是用來估測${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$係數。其映射誤差定義為

${\displaystyle e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)}$

其中${\displaystyle e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R} }$。若係數${\displaystyle {\hat {\alpha }}(t)}$等於${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$，映射誤差${\displaystyle e_{\xi }(t)=0}$。因此可用上式來計算${\displaystyle {\hat {x}}}$，因為流形的特形，可以減少峰值現象。所創建的映射提供估測過程中許多的彈性。甚至可以在第二層估計${\displaystyle x(t)}$的值，以計算狀態${\displaystyle x}$[4]

邊界觀測器（Bounding observers）[11]或區間觀測器（Interval observers）[12][13] 是一組特殊的觀測器，會同時提供一個狀態的二個估測值，分別是真實值的上限和下限。真實值會在上下限估測範圍內。

邊界範圍在實際應用上非常重要[14][15]，可以知道每一個估測的精準度。

在數學上，若適當的選擇${\displaystyle L}$，可以用二種Luenberger觀測器來達到正向系統特性[16]：一個是上限${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)}$（在沒有雜訊及不確定性的情形下，確保在${\displaystyle k\rightarrow \infty }$時，${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)}$在零以上收斂到零），另一個是下限${\displaystyle {\hat {x}}_{L}(k)}$（確保在${\displaystyle k\rightarrow \infty }$時，${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)}$在零以下收斂到零）。因此${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)}$恆成立。

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