滑動模式觀測器

以下將线性时不变系统的龍貝格觀測器（ Luenberger observer），修改為滑動模式觀測器。在滑動模式觀測器中，若進入滑動模式，觀測器動態的階數會減一。在以下例子中，單一估測狀態的狀態誤差可以在有限時間內收斂到零。Drakunov最早提出[3]，非線性系統可以建立滑動模式觀測器，讓所有估測狀態的估測誤差都在有限時間（而且是任意短的時間內）收斂到零。

考慮以下的LTI系統

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}}$

其中狀態向量${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$是輸入向量，輸出utput y是純量，等於${\displaystyle \mathbf {x} }$狀態向量的第一個狀態。令

${\displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$

其中

• ${\displaystyle a_{11}}$是純量，對應第一個狀態${\displaystyle x_{1}}$對自己的影響
• ${\displaystyle A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$是向量，對應第一個狀態對其他狀態的影響
• ${\displaystyle A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}}$是矩陣，對應其他各狀態彼此之間的影響
• ${\displaystyle A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}}$是向量，對應其他狀態對第一個狀態的影響

目的是要設計高增益的狀態觀測器，可以在只有量測資訊${\displaystyle y=x_{1}}$的情形下，估測狀態向量。因此，令向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$是n狀態的觀測值，觀測器的形式為

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

其中${\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$是估測狀態${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$和輸出${\displaystyle y=x_{1}}$之間誤差的非線性函數，${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}$是估測器增益向量，其作用類似典型的線性狀態觀測器。同樣的，也令

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}}$

其中${\displaystyle L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$是向量。另外，令${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$是狀態估測誤差，也就是說${\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} }$。誤差的動態方程為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$是第一個狀態估測值的估測誤差。可以設計非線性控制律v控制滑動流形

${\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

使估測量${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$在有限時間內（也就是${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$）追到實際狀態${\displaystyle x_{1}}$。因此，滑動控制切換函數為

${\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.}$

為了要保持在滑動流形上，${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$和${\displaystyle \sigma }$需永遠維持異號（${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$在幾乎處處${\displaystyle \mathbf {x} }$都要成立）。 不過

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )}$

其中${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$ 是所有無法量測狀態估測誤差的集合。為了要確保${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$，令

${\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )}$

其中

${\displaystyle M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.}$

也就是說，正的常數M需大於系統最可能估計誤差的純量。若M夠大，可以假設系統會達到${\displaystyle e_{1}=0}$（也就是${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$）。因為在流形上${\displaystyle e_{1}}$是常數（零），也可以推得${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0}$。因此不連續的控制律${\displaystyle v(\sigma )}$可以用等效的連續控制律${\displaystyle v_{\text{eq}}}$取代，其中

${\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.}$

因此

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.}$

等效的控制律${\displaystyle v_{\text{eq}}}$代表剩下的${\displaystyle (n-1)}$個狀態對輸出狀態${\displaystyle x_{1}}$軌跡的貢獻。向量${\displaystyle A_{12}}$類似以下誤差子系統的輸出向量

${\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.}$

為了確保未量測狀態的估測誤差${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$可以收斂到零，需選擇${\displaystyle (n-1)\times 1}$向量${\displaystyle L_{2}}$使得${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$矩陣${\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})}$是赫維茲矩陣（其特征值實部均為負數）。假設系統有可觀察性，可將${\displaystyle A_{12}}$視為輸出矩陣（C），則${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$系統可以用和一般線性觀測器相同的方式來穩定。也就是說，${\displaystyle v_{\text{eq}}}$的等效控制可以提供未觀測狀態的量測資訊，可以連續地將其估測值漸近的趨近實際值。平均來說，不連續的控制律${\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)}$強制量測信號的估測量在有限時間內達到零。而且，平均值為零的對稱量測雜訊（正态分布）只會影響控制律v的切換頻率，對等效滑動模式控制律${\displaystyle v_{\text{eq}}}$的影響不大。因此，滑動模式觀測器有類似卡尔曼滤波的特性[2]。

最終版本的觀測器為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}}$

其中

• ${\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,}$
• ${\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.}$

用切換函數${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$來輔助控制向量${\displaystyle \mathbf {u} }$，滑動模式觀測器可以用LTI系統來表示。不連續信號${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$視為是雙輸入LTI的一個控制「輸入」。

為了簡化說明，這個例子假設滑動模式估測器可以量測單一狀態（例如，輸出${\displaystyle y=x_{1}}$）。用類似的方式也可以用各狀態的加權平均（例如，輸出${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} }$使用一般的矩陣C）來設計滑動模式估測器。此例子中，滑動模式就會是使估測輸出${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$追隨量測輸出${\displaystyle \mathbf {y} }$，沒有誤差的流形（使${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }$的流形）。

Drakunov曾經提過[3]，可以針對非線性系統設計滑動模式觀測器。此觀測器可以用原始變數的估測值${\displaystyle {\hat {x}}}$表示，型式如下

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

其中：

• ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$向量將符號函數延伸到${\displaystyle n}$維。也就是說

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  針對向量${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$.

• 向量${\displaystyle H(x)}$的分量是輸出函數${\displaystyle h(x)}$以及其各階李導數。其中

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  其中${\displaystyle L_{f}^{i}h}$是${\displaystyle h}$沿著向量場${\displaystyle f}$（也就是沿著非線性系統的${\displaystyle x}$軌跡）的i階李导数。在此特例中，系統沒有輸入，也沒有相對次數（relative degree）n，${\displaystyle H(x(t))}$是輸出${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$以及其${\displaystyle n-1}$次導數的集合。因為${\displaystyle H(x)}$Jacobian線性化的倒數存在（讓觀測器可以有良好定義），${\displaystyle H(x)}$的轉換保證是局部的微分同胚。

• 增益對角矩陣 ${\displaystyle M({\hat {x}})}$ 會使下式成立

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  其中，針對每一個${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$，元素${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$ 　而且夠大，以保證會碰到滑動模式。

• 觀測器向量${\displaystyle V(t)}$會滿足下式

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  其中的${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$是正常對純量定義的符号函数，而${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$是不連續函數在滑動模式下的「等效值運算子」。

概念可以說明如下：依照滑動模式的理論，為了要描述系統特性，只要開始進入滑動模式，函數${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$就需要改為定效的值實務上，函數會高頻的切換，其慢速的成份會和等效值相等。應用適當的低通濾波器可以濾掉高頻成份，得到等效值，其中也會有較多有關估測系統狀態的資訊。以下的觀測器用了幾次上述的作法，在有限時間內會得到非線性系統的狀態。

修改後的估測器誤差以用轉換後的狀態${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$表示。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

而且

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

因此

1. 只要${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$, 誤差動態的第一個${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$，會符合在有限時間進入${\displaystyle e_{1}=0}$滑動模式的充份條件。
2. 在${\displaystyle e_{1}=0}$表面上，對應的${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$等效控制會等於${\displaystyle h_{2}(x)}$，因此${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$。只要${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$，誤差動態的第二個${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$，會在有限時間內進入${\displaystyle e_{2}=0}$滑動模式。
3. 在${\displaystyle e_{i}=0}$表面上，對應的${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$等效控會等於${\displaystyle h_{i+1}(x)}$。只要${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$，誤差動態的第${\displaystyle (i+1)}$個${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$，會在有限時間內進入${\displaystyle e_{i+1}=0}$滑動模式。

對於足夠大的${\displaystyle m_{i}}$增益，所有的觀測器估測狀態都會在有限時間內到實際的狀態。只要${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$有確定的上下界，增加${\displaystyle m_{i}}$，可以在任意時間內讓估測狀態收斂。因此映射${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$是微分同胚（也就是其Jacobian 線性化可逆）可以保證，若估測輸出的收斂，就意味著估測狀態的收斂。因此此要求是可觀察性的條件。

若針對有輸入系統的滑動模型觀測器，會需要額外的條件，其估測誤差和輸入無關。例如

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

和時間無關。則觀測器為

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$