皮克定理

設 ${\displaystyle P}$ 和 ${\displaystyle T}$ 的共同邊上有 ${\displaystyle c}$ 個格點。

• ${\displaystyle P}$ 的面積： ${\displaystyle i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1}$
• ${\displaystyle T}$ 的面積： ${\displaystyle i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1}$
• ${\displaystyle PT}$ 的面積：

${\displaystyle (i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1}$

${\displaystyle =i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1}$

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

1. 所有平行於軸線的矩形；
2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
3. 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

設矩形 ${\displaystyle R}$ 長邊短邊各有${\displaystyle m}$,${\displaystyle n}$個格點：

• ${\displaystyle A_{R}=(m-1)(n-1)}$
• ${\displaystyle i_{R}=(m-2)(n-2)}$
• ${\displaystyle b_{R}=2(m+n)-4}$

${\displaystyle i_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1}$

${\displaystyle =(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1}$

${\displaystyle =mn-(m+n)+1}$

${\displaystyle =(m-1)(n-1)}$

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且 ${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle b}$ 相等。設其斜邊上有 ${\displaystyle c}$ 個格點。

• ${\displaystyle b=m+n+c-3}$
• ${\displaystyle i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}}$

${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1}$

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}}$

逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 ${\displaystyle P}$ 加上 ${\displaystyle T}$ 的 ${\displaystyle PT}$ 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。