皮卡定理

函数exp(1/z)，在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。

皮卡小定理说明，如果复变函数${\displaystyle f(z)}$是整函数且不是常数，则${\displaystyle f(z)}$的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。

皮卡的原始证明利用了模λ函數（Modular lambda function）。[1]证明概要如下：若${\displaystyle f(z)}$的值域不包含复平面上的两个点，不失一般性地，可以假设${\displaystyle f(z)}$的值域不包含0和1，设${\displaystyle w_{0}}$是其值域中的点，在这个点附近，可以选取模函数${\displaystyle \lambda (z)}$的逆的某个单值解析分支，记作${\displaystyle \lambda ^{-1}(z)}$。利用模函数的通用覆盖性和单值性定理，可以将${\displaystyle z_{0}}$点（${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$）附近定义的复合映射${\displaystyle \lambda ^{-1}(f(z))}$解析延拓到整个复平面上，从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据刘维尔定理，该函数为常函数。因此${\displaystyle f(z)}$也是常函数。[2]

皮卡大定理说明，如果${\displaystyle f(z)}$在点${\displaystyle w}$具有本性奇点，那么在任何含有${\displaystyle w}$的开集中，${\displaystyle f(z)}$都将取得所有可能的复数值，最多只有一个例外。

这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理，后者只保证了f的值域在复平面内是稠密的。