立方體半形

立方體半形由3個面、6條邊和4個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是3個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{4,3}/2或{4,3}₃來表示，其中{4,3}代表且每個頂點都是3個正方形的公共頂點[4]，然而{4,3}代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量[5][6]。

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即${\displaystyle n+1}$維超方形半形（施萊夫利符號：${\displaystyle {\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}}$）的對偶多胞形為${\displaystyle n+1}$維正軸形半形（施萊夫利符號：${\displaystyle {\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}}$）。[5][6]

特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用2條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定[7]，也就是說，一般不會存在2個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

構造

立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形[4]。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架[8]，同時其構成的面不會共面[4]，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為K₄完全圖嵌入於射影平面上的結果。[4]

立方體半形

K4完全圖

皮特里四面體

皮特里四面體

以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶 正則地區圖
對偶多面體	八面體半形
數學表示法
施萊夫利符號	{3,3}π {4,3}3
性質
面	3
邊	6
頂點	4
歐拉特徵數	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	Td, [3,3], *332
特性
扭歪、正則

皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶[1][10]。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式[4]。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味著其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應[11]。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。[1][10]

皮特里四面體由3個面、6條邊和4個頂點組成，其中，3個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。[12]由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成[13]，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。[14]

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為1的幾何結構[1]。

正四面體的皮特里多邊形

構成皮特里立方體的扭歪四邊形面

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋[1]。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形[1]。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形[1][15]。

皮特里四面體

以正則地區圖表示的皮特里四面體

皮特里四面體的對偶多面體以正則地區圖表示

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有[6]：

立方體半形

八面體半形

十二面體半形

二十面體半形

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：[16]

皮特里四面體

皮特里立方體

皮特里八面體

皮特里十二面體

皮特里二十面體

• 立方體半形 （页面存档备份，存于）