佩服數

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等於本身，我們就稱它為佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$[2]，同時，12也是最小的佩服數[1]。

更为严格地说，佩服數是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即${\displaystyle n}$的所有正因数（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的結果為${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$，存在一個因數1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數[3]。

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶数。最小的奇佩服數是945[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數[註 3]比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)[1]。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數[1][註 2]，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數[註 4]。

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 豐數
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全數

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （页面存档备份，存于）