矩問題

最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 M 為序列 {xⁿ : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自概率论，其意義為：是否存在一個概率測度，其平均数、方差等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的支撑集為全條實軸的Hamburger 矩問題、支撑集為 [0,+∞) 的斯蒂爾吉斯矩問題，以及支撑集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的豪斯多夫矩問題。

一個序列 m_n 為某個測度 μ 的矩，當且僅當其汉克尔矩阵 H_n,

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

為半正定。 這是因為一個半正定的汉克尔矩陣對應一个线性泛函 ${\displaystyle \Lambda }$，其滿足 ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ 和 ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$（即：當作用於多项式的平方和時，其結果非負）。假设 ${\displaystyle \Lambda }$ 可以扩展成 ${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$ 的元素。在单变量的情况下，非負的多项式必為若干個多項式的平方和，故线性泛函 ${\displaystyle \Lambda }$於非負多项式處均取非負值。由 Haviland (1936)，該线性泛函有測度形式，亦即 ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$. 在有界區間 [a, b] 上，測度 ${\displaystyle \mu }$ 的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設线性泛函 ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ 將多项式

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

映到

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

若 m_kn 為以 [a, b] 為支撑的測度 μ 的矩，則

φ(P) ≥ 0 對任意在 [a, b] 上非負的多項式 P 都成立。

(1)

反之，如果 (1) 為真，則可運用M. 里斯擴展定理將 ${\displaystyle \phi }$ 擴展成 C₀([a, b]) 上的線性泛函，其滿足

${\displaystyle \varphi (f)\geq 0\quad \forall f\in C_{0}([a,b]),\;f\geq 0}$.

(2)

由里斯表示定理，(2) 成立當且僅當存在以 [a, b] 為支撐的測度 μ ，使得

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

对任意的 f ∈ C₀([a, b]) 成立。

由此可見， ${\displaystyle \mu }$ 的存在性等價於 (1). 再利用 [a, b] 上的非負多項式的表示定理，即可將 (1) 寫成一個關於汉克尔矩阵的條件。

詳見 Shohat & Tamarkin 1943 和 Krein & Nudelman 1977 。

豪斯多夫矩問題中，可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，多項式集是稠密的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 Carleman 條件(1922)、Krein 條件 (1940s) 和 Akhiezer (1965).

矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 k （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在极值问题、优化理論，以及概率论的極限定理上。 参见： 切比雪夫–马可夫–斯蒂爾吉斯不等式 和 Krein & Nudelman 1977.

• 斯蒂爾吉斯矩問題
• Hamburger 矩問題
• 豪斯多夫矩問題
• 矩 (數學)
• Carleman 條件
• 汉克尔矩阵

• Haviland, E. K. . American Journal of Mathematics. 1936-01, 58 (1): 164–168 [29 Nov 2018]. doi:10.2307/2371063. （原始内容存档于2021-05-07）.
• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. . New York: American mathematical society. 1943.
• Akhiezer, Naum I. . New York: Hafner Publishing Co. 1965. (由 N. Kemmer 譯自俄文)
• Krein, M. G.; Nudelman, A. A. . Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1977. (由 D. Louvish 譯自俄文)
• Schmüdgen, Konrad. . Springer International Publishing. 2017.