正合序列

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

• 序列0 → A → B 為正合序列，若且唯若從A 至B 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。
• 在對偶時，序列B → C → 0 為正合序列，若且唯若從B 至C 的映射，其像為整個C，亦即若且唯若該映射為滿射。
• 因此，序列0 → X → Y → 0 為正合序列，若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從X 至Y 的同構。

短正合序列為具有下列形式的正合序列

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0}$

如上所述，對任何一個短正合序列，f 一定為單射，且g 一定為滿射，且f 的像會等於g 的核。因此，可導出一同構

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}$

若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列${\displaystyle 0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0}$ 分裂：

• ${\displaystyle g}$有截面（即存在${\displaystyle s:A''\rightarrow A}$使得${\displaystyle g\circ s=\mathrm {id} _{A''}}$）
• ${\displaystyle f}$有縮回（即存在${\displaystyle r:A\rightarrow A'}$使得${\displaystyle r\circ f=\mathrm {id} _{A'}}$）
• 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

${\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0}$

其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證${\displaystyle A}$可以表為${\displaystyle A'}$與${\displaystyle A''}$的半直積；例如我們可考慮群同態

${\displaystyle 1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0}$

其中${\displaystyle S_{3}}$是3次對稱群。${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}}$由${\displaystyle n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}}$給出，它的像是交代群${\displaystyle A_{3}}$，商為${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$；但${\displaystyle S_{3}}$無法分解成${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots }$

設

${\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})}$

其中${\displaystyle 2\leq n\leq 4}$，這就給出了一個短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0}$

一般而言，設${\displaystyle A_{\bullet }}$為鏈複形，我們同樣定義${\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})}$；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈${\displaystyle 0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0}$的正合性。

給定一個短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0}$

有時也稱${\displaystyle A}$為${\displaystyle A''}$經由${\displaystyle A'}$的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。