积分第一中值定理

因为 ${\displaystyle f\ }$ 是闭区间上的连续函数，${\displaystyle f\ }$ 取得最大值 ${\displaystyle \mathrm {M} \ }$ 和最小值 ${\displaystyle \mu \ }$。于是

${\displaystyle \mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)}$。

对不等式求积分，我们有

${\displaystyle \mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}$。

若 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0}$，则 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0}$。${\displaystyle \xi \ }$ 可取 ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\ }$ 上任一点。

设 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0}$，那么

${\displaystyle \mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu }$。

因为 ${\displaystyle \mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu }$是连续函数，根據介值定理，必存在一点 ${\displaystyle \xi \in [\alpha ,\beta ]}$，使得

${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}}$。

已知${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，设${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$。

知${\displaystyle F(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，在${\displaystyle (a,b)}$内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

${\displaystyle {\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )}$，其中${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

即

${\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )}$

所以

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)}$。

1. 华东师范大学数学系. 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页.

由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么${\displaystyle \xi \in [a,b]}$可以改为 ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$。 因为 ${\displaystyle f(x)}$在 ${\displaystyle [a,b]}$上连续，所以${\displaystyle f(x)}$在 ${\displaystyle [a,b]}$上有最大值 ${\displaystyle M}$和最小值 ${\displaystyle m}$。设${\displaystyle f(x_{1})=m}$，${\displaystyle f(x_{2})=M}$，${\displaystyle x_{1}}$，${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \in [a,b]}$，如果${\displaystyle m=M}$，则${\displaystyle f(x)}$是常值函数，任取${\displaystyle \xi \in (a,b)}$即可。如果 ${\displaystyle m<M}$，由于函数${\displaystyle M-f(x)}$连续且有一点${\displaystyle x_{1}}$使 ${\displaystyle M-f(x_{1})>0}$ ，所以由积分性质有 ${\displaystyle \int _{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0}$，即

${\displaystyle M(b-a)>\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

同理可得 ${\displaystyle m(b-a)<\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$,故有

${\displaystyle m<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx<M}$

由连续函数的介值定理，至少存在一点${\displaystyle \xi \in (x_{1},x_{2})}$⊂${\displaystyle (a,b)}$（或${\displaystyle (x_{2},x_{1})}$⊂${\displaystyle (a,b)}$），使得${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )}$，即

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a)}$

注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》

中值定理