第一可數空間

在拓撲學上，第一可數空間（First-countable space）是指有可數的邻域基的拓撲空間，即對於 $x\in X$ ，存在 $x$ 的開鄰域序列 $U_{1},U_{2},U_{3},...$ ，使得對於任意的鄰域 $V$ ，存在整數 $i$ 使得 $U_{i}\subseteq V$ 。

例子與反例

大部份數學中的常見空間為第一可數的，像是所有度量空間皆為第一可數，要證明此點，只要注意到所有以x為中心，半徑為1/n，n為正整數的開球，形成了於x點的可數局部基。

一個無限集（像是實數線）的餘有限拓撲則非第一可數。在商空間 $\mathbb {R} /\mathbb {N}$ 中，所有自然數被視為一個點，此空間也非第一可數。

第一可數性比第二可數性來得弱，所有第二可數空間皆為第一可數，但不可數的離散空間是第一可數而非第二可數。

性質

第一可數性可傳遞至子空間。
在第一可數空間中，序列緊緻和可數緊緻等價。
任何第一可數空間的可數積為第一可數，但不可數積則未必。

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