积空间

直觀動機上，一族拓扑空间笛卡儿积，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ，具有指標集 ${\displaystyle I}$ 與指標函數 ${\displaystyle x}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}$

且有相應的一族拓扑 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 與指標函數 ${\displaystyle \tau }$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}$

若 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 就是无穷乘积 ${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}}$ 上滿足需求的那個拓撲，那對於任意指標 ${\displaystyle j\in I}$ ，以下的第 ${\displaystyle j}$ 投影映射：

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}$

${\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}$

必須對所有開集 ${\displaystyle o_{j}\in \tau (j)}$ 須滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\in \tau _{\pi }}$

也就是說，${\displaystyle \pi _{j}}$ 必須 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$-${\displaystyle \tau (j)}$ 连续。

首先從 ${\displaystyle \pi _{j}}$ 的定義，對任意 ${\displaystyle f}$ 有：

${\displaystyle \left[f\in {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\right]\Leftrightarrow \left\{\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)\wedge {\big [}f(j)\in o_{j}{\big ]}\right\}}$

那如果取個一對一函數 ${\displaystyle o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}}$ 滿足：

${\displaystyle (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}}$

${\displaystyle o(j)=o_{j}}$

那以上的要求就可以寫為：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})=\prod _{o}o(I)\in \tau _{\pi }}$

也就是除了 ${\displaystyle j\in I}$ 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ ，應該是包含：

${\displaystyle \left\{\prod _{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}$

的最粗拓撲，總結如下：

如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；這是因為可以免除用函数定義无穷乘积的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限积拓扑：

設 ${\displaystyle (X_{1},\,\tau _{1}),\,(X_{2},\,\tau _{2}),\,\dots ,\,(X_{n},\,\tau _{n})}$ 都是拓扑空间，若對任意自然数指標 ${\displaystyle j\leq n}$ 來說，以下的投影映射 ${\displaystyle \pi _{j}}$：

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to x(j)}$

${\displaystyle \pi _{j}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})=a_{j}}$

對於 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ 上的「自然拓扑 」${\displaystyle \tau _{\pi }}$ ，取任意開集 ${\displaystyle O_{j}\in \tau _{j}}$ 應滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\in \tau _{\pi }}$

也就是說，${\displaystyle \pi _{j}}$ 都應 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$-${\displaystyle \tau _{j}}$ 连续。那從 ${\displaystyle \pi _{j}}$ 的定義，對任意 ${\displaystyle p=(p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ 有：

${\displaystyle \left[p\in {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\right]\Leftrightarrow (\forall i\in \mathbb {N} )\left\{(p_{i}\in X_{i})\wedge (p_{j}\in O_{j})\right\}}$

換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})=X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times O_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi }}$ （${\displaystyle 1<j\leq n}$）

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{1})=O_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi }}$

那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：

${\displaystyle V:\mathbb {N} \to \bigcup \{\tau _{1},\,\tau _{2},\,\dots ,\,\tau _{n}\}}$

${\displaystyle V(i)=V_{i}\in \tau _{i}}$

要求：

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}\in \tau _{\pi }}$

那因為 ${\displaystyle X_{i}\in \tau _{i}}$ （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

${\displaystyle V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}=\bigcap _{j=1}^{n}X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times V_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}}$

所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rⁿ上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，f_i : Y → X_i是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：

乘积空间的特性

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当f_i = p_i o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数f_i的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用p_i连续这一点。

除了连续，标准投影p_i : X → X_i也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到X_i上还是开集。反过来不真：若W是到所有X_i的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R² \ (0,1)².）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到X_i的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = R^I 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于选择公理。

• 可分离性
  • 每个T₀空间的积是T₀的。
  • 每个T₁空间的积是T₁的。
  • 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
  • 每个正则空间的积是正则的。
  • 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
  • 正规空间的积不一定是正规的。
• 紧致性
  • 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
  • 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
• 连通性
  • 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
  • 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。

• 盒拓扑
• 不交并 (拓扑学)
• 商空间
• 子空间拓扑