簡諧運動

同一简谐运动在实空间和相空间的不同显示。轨道是周期性的。（为使两图一致，这里的速度轴和位置轴与标准惯例相反）

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}$

回复力又可表示为${\displaystyle F=-kx}$

所以有${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}$

求解上述方程，得到的解含有正弦函数

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}$，其中

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$

${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle c_{2}}$是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：${\displaystyle A}$是振幅，${\displaystyle \omega =2\pi f}$是角频率， 加速度可以作为时间的函数得到

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle v_{max}=\omega A}$（在平衡位置）

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}$（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}$。

因为 ${\displaystyle \omega =2\pi f}$，

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$，

又因为周期 ${\displaystyle T={\frac {1}{f}}}$，所以：${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。[1]^:163

在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

1.振幅

振幅${\displaystyle A}$代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于${\displaystyle {\sqrt {E}}}$，即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率：${\displaystyle \omega =2\pi f}$, 频率f为周期T的倒数。

其中${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。推导过程：

${\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })}$

对于时间t求导， ${\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })}$

再关于时间t求导，${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })}$

由牛顿第二定律得${\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}}$

两式联立得${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。

下图為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦或餘弦曲綫。

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期，單位時間內完成全振動的次数叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

应该说明：

1. 以上各判定方法是完全等价的；
2. 以上各表达式中的${\displaystyle x}$既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

• 平移运动
• 匀速运动
• 平抛运动
• 曲线运动

• 弹簧震动Java模拟 （页面存档备份，存于）