米勒-拉宾检验

首先介绍一个相关的引理。我们发现 ${\displaystyle 1^{2}{\bmod {p}}}$ 和 ${\displaystyle (-1)^{2}{\bmod {p}}}$ 总是得到 ${\displaystyle 1}$，我们称 ${\displaystyle -1}$ 和 ${\displaystyle 1}$ 是 ${\displaystyle 1{\bmod {p}}}$ 的“平凡平方根”，当 ${\displaystyle p}$ 是素数且 ${\displaystyle p>2}$ 时，不存在 ${\displaystyle 1{\bmod {p}}}$ 的“非平凡平方根”。为了证明该引理，首先假设 ${\displaystyle x}$ 是 ${\displaystyle 1{\bmod {p}}}$ 的平方根之一，于是有

$${\displaystyle x^{2}\equiv 1{\pmod {p}}}$$

$${\displaystyle (x+1)(x-1)\equiv 0{\pmod {p}}}$$

也就是说，素数 ${\displaystyle p}$ 能够整除 ${\displaystyle (x-1)(x+1)}$ 或者 ${\displaystyle x=p-1}$，根据欧几里得引理，${\displaystyle x-1}$ 或者 ${\displaystyle x+1}$ 能够被 ${\displaystyle p}$ 整除，即 ${\displaystyle x\equiv 1{\pmod {p}}}$ 或 ${\displaystyle x\equiv -1{\pmod {p}}}$,

即 ${\displaystyle x}$ 是 ${\displaystyle 1{\bmod {p}}}$ 的平凡平方根。

现在假设 ${\displaystyle n}$ 是一个素数，且 ${\displaystyle n>2}$。于是 ${\displaystyle n-1}$ 是一个偶数，可以被表示为 ${\displaystyle 2^{s}*d}$ 的形式，${\displaystyle s}$ 和 ${\displaystyle d}$ 都是正整数且${\displaystyle d}$是奇数。对任意在 ${\displaystyle (Z/nZ)^{*}}$ 范围内的 ${\displaystyle a}$，必须满足以下两种形式的一种：

$${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}{\text{ ① }}}$$

$${\displaystyle a^{2^{r}d}\equiv -1{\pmod {n}}{\text{ ② }}}$$

其中 ${\displaystyle r}$ 是某个满足 ${\displaystyle 0\leq r\leq s-1}$ 的整数。

因为由于 费马小定理 ，对于一个素数 ${\displaystyle n}$ ，有

$${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$$

又由于上面的引理，如果我们不断对${\displaystyle a^{n-1}}$取平方根后，我们总会得到 ${\displaystyle 1}$ 和 ${\displaystyle -1}$。如果我们得到了 ${\displaystyle -1}$ ，意味着②式成立，${\displaystyle n}$ 是一个素数。如果我们从未得到 ${\displaystyle -1}$ ，那么通过这个过程我们已经取遍了所有 ${\displaystyle 2}$ 的幂次，即①式成立。

米勒-拉宾素性测试就是基于上述原理的逆否，也就是说，如果我们能找到这样一个 ${\displaystyle a}$，使得对任意${\displaystyle 0\leq r\leq s-1}$以下两个式子均满足：

$${\displaystyle a^{d}\not \equiv 1{\pmod {n}}}$$

$${\displaystyle a^{2^{r}d}\not \equiv -1{\pmod {n}}}$$

那么 ${\displaystyle n}$ 就不是一个素数。这样的 ${\displaystyle a}$ 称为 ${\displaystyle n}$ 是合数的一个凭证（witness）。否则 ${\displaystyle a}$ 可能是一个证明 ${\displaystyle n}$ 是素数的“强伪证”（strong liar），即当${\displaystyle n}$确实是一个合数，但是对当前选取的 ${\displaystyle a}$ 来说上述两个式子均不满足，这时我们认为${\displaystyle n}$是基于${\displaystyle a}$的大概率素数。

每个奇合数 ${\displaystyle n}$ 都有很多个对应的凭证 ${\displaystyle a}$，但是要生成这些 ${\displaystyle a}$ 并不容易。当前解决的办法是使用概率性的测试。我们从集合 ${\displaystyle (Z/nZ)^{*}}$ 中随机选择非零数 ${\displaystyle a}$，然后检测当前的 ${\displaystyle a}$ 是否是 ${\displaystyle n}$ 为合数的一个凭证。如果 ${\displaystyle n}$ 本身确实是一个合数，那么大部分被选择的 ${\displaystyle a}$ 都应该是 ${\displaystyle n}$ 的凭证，也即通过这个测试能检测出 ${\displaystyle n}$ 是合数的可能性很大。然而，仍有极小概率的情况下我们找到的 ${\displaystyle a}$ 是一个“强伪证”（反而表明了 ${\displaystyle n}$ 可能是一个素数）。通过多次独立测试不同的 ${\displaystyle a}$，我们能减少这种出错的概率。

对于测试一个大数是否是素数，常见的做法随机选取基数${\displaystyle a}$，毕竟我们并不知道凭证和伪证在${\displaystyle [1,n-1]}$这个区间如何分布。典型的例子是 Arnault 曾经给出了一个397位的合数${\displaystyle n}$，但是所有小于307的基数${\displaystyle a}$都是${\displaystyle n}$是素数的“强伪证”。不出所料，这个大合数通过了 Maple 程序的isprime() 函数（被判定为素数）。这个函数通过检测 ${\displaystyle a=2,3,5,7,11}$ 这几种情况来进行素性检验。

假设我们需要检验 ${\displaystyle n=221}$ 是否是一个素数。首先${\displaystyle n-1=220=(2^{2})*55}$，于是我们得到了${\displaystyle s=2}$和${\displaystyle d=55}$.我们随机从${\displaystyle [1,n-1]}$中选取${\displaystyle a}$，假设${\displaystyle a=174}$，于是有：

$${\displaystyle a^{2^{0}d}{\bmod {n}}=174^{55}{\bmod {2}}21=47\not =1,-1}$$

$${\displaystyle a^{2^{1}d}{\bmod {n}}=174^{110}{\bmod {2}}21=220=-1}$$

因为我们得到了一个 -1，所以要么${\displaystyle n=221}$确实是一个素数，要么${\displaystyle a=174}$是一个“强伪证”。我们再选取${\displaystyle a=137}$，于是有：

$${\displaystyle a^{2^{0}d}{\bmod {n}}=137^{55}{\bmod {2}}21=188\not =1,-1}$$

$${\displaystyle a^{2^{1}d}{\bmod {n}}=137^{110}{\bmod {2}}21=205\not =-1}$$

即${\displaystyle a=137}$是${\displaystyle n=221}$为合数的一个凭证，而${\displaystyle a=174}$是一个“强伪证”。

选取特定的整数可以在一定范围内确定（而非单纯基于概率猜测）某个整数是质数还是合数。对于小于${\displaystyle 2^{32}}$的情形，选取${\displaystyle 2,7,61}$共三个凭据可以做到这一点；对于小于${\displaystyle 2^{64}}$的情形，选取${\displaystyle 2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022}$共七个凭据可以做到这一点[1]。

这一算法可以被表示成如下伪代码：

Input #1: n > 3, an odd integer to be tested for primality;
Input #2: k, a parameter that determines the accuracy of the test
Output: composite if n is composite, otherwise probably prime

write n − 1 as 2r·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1
WitnessLoop: repeat k times:
   pick a random integer a in the range [2, n − 2]
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then
      continue WitnessLoop
   repeat r − 1 times:
      x ← x2 mod n
      if x = n − 1 then
         continue WitnessLoop
   return composite
return probably prime

使用模幂运算，这个算法的时间复杂度是${\displaystyle O(k\log ^{3}n)}$，${\displaystyle k}$是我们测试的不同的 ${\displaystyle a}$ 的值。也就是说，这是一个高效的多项式时间算法。使用快速傅里叶变换能够将这个时间推进到 O(k log²n log log n log log log n) = Õ(k log²n).

如果我们加入最大公因数算法到上述算法中，我们有时候可以得到 ${\displaystyle n}$ 的因数，而不仅仅是证明 ${\displaystyle n}$ 是一个合数。例如，若 ${\displaystyle n}$ 是一个基于${\displaystyle a}$ 的可能的素数，但不是一个大概率素数，则${\displaystyle \gcd((a^{d}{\bmod {n}})-1,n)}$或${\displaystyle \gcd((a^{2^{r}d}{\bmod {n}})-1,n)}$将得到 ${\displaystyle n}$ 的因数。如果因式分解是必要的，这一${\displaystyle GCDs}$算法可以加入到上述的算法中，代价是增加了一些额外的运算时间。

例如，假设 ${\displaystyle n=341}$，则${\displaystyle n-1=340=85*4}$.于是${\displaystyle 2^{85}{\bmod {3}}41=32}$，这也告诉我们 ${\displaystyle n}$ 不是一个大概率素数，即 ${\displaystyle n}$ 是一个合数。如果这个时候我们求最大公因数，我们可以得到一个${\displaystyle n=341}$的因数：${\displaystyle \gcd((2^{85}{\bmod {3}}41)-1,341)=31}$.这时可行的，因为${\displaystyle n=341}$是一个基于2的伪素数，但不是一个“强伪素数”。

下面是根据以上定义而使用Magma语言编写的“米勒-拉宾”检验程序。

function ModPotenz(a,b,n)
erg:=1;
while (b ne 0) do
       b, rest:=Quotrem(b,2);
       if (rest ne 0) then erg:=((erg*a) mod n); end if;
       a:= (a^2 mod n);
     end while;
     return erg;
end function;
;
function Miller_rabin(n)
  if (n mod 2 ne 0) then
  d:=n-1; s:=0;t:=50;
  while (d mod 2) eq 0 do
    d:=d div 2;
    s:=s+1;
  end while;
  k:=0;
  while(k lt t) do
    a:=Random(1,n-1);
    k:=k+1;
    if GCD(a,n) ne 1 then
      continue;
    end if;
    x:=ModPotenz(a,d,n);
    if(x ne 1) then
      for r in [0,s-1] do
        x:=ModPotenz(a,2^r*d,n);
        if(x eq (n-1)) then
           return "probably prime";
        end if;
      end for;
    elif (x eq 1) then
      break;
    end if;
  end while;
  end if;
  return "composite";
end function;

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