精度衰减因子

在GNSS提供的标准定位服务下，用户获取自身位置的原理是观测各导航卫星播发出的导航信号，通过搭载在导航信号上的测距码获取卫星与用户接收机之间的距离，并通过同样搭载在导航信号上的导航电文获取卫星的位置，以及卫星的钟误差、电离层延迟等测距误差的改正信息。在测量过程中，接收机获得距离观测值受到钟误差以及传播过程中的大气延迟等因素的影响，与两者间的几何距离有所差异，因而又被称作“伪距”。设接收机 ${\displaystyle {\text{r}}}$ 观测到其与卫星 ${\displaystyle {\text{s}}}$ 之间的伪距为 ${\displaystyle p_{\text{r}}^{\text{s}}}$，并设两者间的几何距离为 ${\displaystyle \rho _{\text{r}}^{\text{s}}}$，两者间的关系由伪距观测方程描述：[5][7]

${\displaystyle p_{\text{r}}^{\text{s}}=\rho _{\text{r}}^{\text{s}}+(dt_{\text{r}}-dt_{\text{s}})+I_{\text{r}}^{\text{s}}+T_{\text{r}}^{\text{s}}+\varepsilon _{\text{r}}^{\text{s}}}$

其中，${\displaystyle dt_{\text{r}}}$ 和 ${\displaystyle dt^{\text{s}}}$ 分别表示接收机钟和卫星钟在引入的钟误差；${\displaystyle I_{\text{r}}^{\text{s}}}$ 和 ${\displaystyle T_{\text{r}}^{\text{s}}}$ 分别表示导航信号在传播过程中经受的电离层延迟与对流层延迟；其他未改正的误差项则以 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}^{\text{s}}}$ 表示，在标准单点定位的模型下被假设为随机误差。

在伪距观测方程中，卫星的钟误差 ${\displaystyle dt^{\text{s}}}$、电离层延迟 ${\displaystyle I_{\text{r}}^{\text{s}}}$ 与对流层延迟 ${\displaystyle T_{\text{r}}^{\text{s}}}$ 可以通过导航电文及其他模型进行预先计算，而接收机的钟误差 ${\displaystyle dt_{\text{r}}}$ 则和用户的三维坐标 ${\displaystyle (e_{\text{r}},n_{\text{r}},u_{\text{r}})}$ 一起作为未知参数进行估计。当同时观测到 ${\displaystyle n}$ 颗导航卫星时，未知参数可由各伪距观测方程进行联立求解：[5]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {p}}_{\text{r}}^{\text{1}}\\{\hat {p}}_{\text{r}}^{\text{2}}\\\vdots \\{\hat {p}}_{\text{r}}^{\text{n}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{1}}{\partial {e}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{1}}{\partial {n}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{1}}{\partial {u}_{\text{r}}}}&1\\{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{2}}{\partial {e}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{2}}{\partial {n}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{2}}{\partial {u}_{\text{r}}}}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{n}}{\partial {e}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{n}}{\partial {n}_{\text{r}}}}&{\frac {\partial \rho _{\text{r}}^{n}}{\partial {u}_{\text{r}}}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {e}}_{\text{r}}\\{\hat {n}}_{\text{r}}\\{\hat {u}}_{\text{r}}\\{\hat {dt}}_{\text{r}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-dt_{\text{1}}+I_{\text{r}}^{\text{1}}+T_{\text{r}}^{\text{1}}\\-dt_{\text{2}}+I_{\text{r}}^{\text{2}}+T_{\text{r}}^{\text{2}}\\\vdots \\-dt_{\text{n}}+I_{\text{r}}^{\text{n}}+T_{\text{r}}^{\text{n}}\end{pmatrix}}}$

式中，${\displaystyle {\hat {p}}_{\text{r}}^{\text{s}}}$ 与 ${\displaystyle {({\hat {e}}_{\text{r}},{\hat {n}}_{\text{r}},{\hat {u}}_{\text{r}},{\hat {dt}}_{\text{r}})}^{\text{T}}}$ 分别表示各伪距观测值和未知参数的无偏估计值，分别以向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ 和向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ 表示，在以 ${\displaystyle \mathbf {l} }$ 代表方程组中的常数项，该方程组亦可写作：[2][7]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}+\mathbf {l} }$

其中设计矩阵 ${\displaystyle \mathbf {H} }$ 代表方程组的各项系数，也是向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ 和向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ 之间函数关系的线性表示。

当上述方程组展开于原始观测值 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ 和参数近似数 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ 处时，两向量与其近似值的差异之间的数学关系亦由设计矩阵决定，即：[5]

${\displaystyle d\mathbf {p} =\mathbf {H} d\mathbf {x} }$

${\displaystyle d\mathbf {p} ={\hat {\mathbf {p} }}-\mathbf {p} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} _{0}}$

由于向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的维数为4[註 1]，当方程组中方程的数量 ${\displaystyle n}$ 满足 ${\displaystyle n\geq 4}$ 时，由该方程组组成的平差模型才有解。其中，当 ${\displaystyle n=4}$ 时，该平差模型可得到唯一解 ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {H} ^{-1}d\mathbf {p} }$；而当 ${\displaystyle n>4}$ 时，该平差模型有无数解，其中满足最小二乘准则的估计解为：[7]

${\displaystyle d\mathbf {x} =\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}\mathbf {H} ^{\text{T}}d\mathbf {p} }$

式中的 ${\displaystyle \left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}\mathbf {H} }$ 被称为设计矩阵 ${\displaystyle \mathbf {H} }$ 的伪逆。

由于 ${\displaystyle d\mathbf {p} }$ 为随机误差，且 ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ 与 ${\displaystyle d\mathbf {p} }$ 具有线性关系，因而 ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ 亦可以随机误差进行描述，两者均具有方差、协方差和期望值等统计性质。${\displaystyle d\mathbf {x} }$ 值的协因数阵 ${\displaystyle \operatorname {cov} (d\mathbf {x} )}$ 可表示为：[7]

${\displaystyle \operatorname {cov} (d\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}\sigma _{e_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{e_{\text{r}}n_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{e_{\text{r}}u_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{e_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}\\\sigma _{e_{\text{r}}n_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{n_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{n_{\text{r}}u_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{n_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}\\\sigma _{e_{\text{r}}u_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{n_{\text{r}}u_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{u_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{u_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}\\\sigma _{e_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{n_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{u_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}&\sigma _{dt_{\text{r}}dt_{\text{r}}}^{2}\\\end{pmatrix}}}$

其中，对角线上的元素为各参数的方差，非对角线上的元素为各参数与其他参数的协方差。

根据协因数传播定律， ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ 与 ${\displaystyle d\mathbf {p} }$ 的协因数阵满足如下关系：[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (d\mathbf {x} )&=\operatorname {E} \left[d\mathbf {x} d\mathbf {x} ^{\text{T}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[{\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)}^{-1}\mathbf {H} ^{\text{T}}d\mathbf {p} d\mathbf {p} ^{\text{T}}\mathbf {H} {\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)}^{-1}\right]\\&={\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)}^{-1}\mathbf {H} ^{\text{T}}\operatorname {cov} (d\mathbf {p} )\mathbf {H} {\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)}^{-1}\end{aligned}}}$

式中运算符 ${\displaystyle \operatorname {cov} (\cdot )}$ 和 ${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$ 分别表示取协因数与取期望值。

为构建一个符合DOP值定义的简单模型，假设各观测值包含的测距误差是相互独立且大小相等的，这样的测距误差通常以用户等效测距误差（英語：，缩写：UERE）${\displaystyle \sigma _{\text{UERE}}}$ 表示，即：[5][7]

${\displaystyle \operatorname {cov} (d\mathbf {p} )=I_{n{\times }n}\sigma _{\text{UERE}}^{2}}$

式中 ${\displaystyle I_{n{\times }n}}$ 为 ${\displaystyle n}$ 维的单位矩阵。

根据协因数传播律，有：

${\displaystyle \operatorname {cov} (d\mathbf {x} )=\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}\sigma _{\text{UERE}}^{2}}$

此时，用户总的定位和授时误差以各参数的方差描述，以几何误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{G}}}$ 为例，其大小等于参数的方差之和的平方根，也即矩阵 ${\displaystyle \operatorname {cov} (d\mathbf {x} )}$ 的迹 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left[\operatorname {cov} (d\mathbf {x} )\right]}$ 的平方根：[2]

${\displaystyle \sigma _{\text{UERE}}={\sqrt {\sigma _{e_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{n_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{u_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{dt_{\text{r}}}^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} \left[\operatorname {cov} (d\mathbf {x} )\right]}}}$

因而，可定义精度衰减因子为该几何误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{G}}}$ 和测距误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{UERE}}}$ 的比值：[1][5][7]

${\displaystyle {\text{(G)DOP}}={\frac {\sigma _{\text{G}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\frac {\sqrt {\operatorname {tr} \left[\operatorname {cov} (d\mathbf {x} )\right]}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\sqrt {\operatorname {tr} \left[\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}\right]}}}$

该DOP值也被称作几何精度衰减因子（英語：），简称GDOP值。

若将矩阵 ${\displaystyle \left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}}$ 展开作：[2][5]

${\displaystyle {\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)}^{-1}={\begin{pmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}&D_{14}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}&D_{24}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}&D_{34}\\D_{41}&D_{42}&D_{43}&D_{44}\\\end{pmatrix}}}$

GDOP值亦可表示为：

${\displaystyle {\text{GDOP}}={\sqrt {D_{11}+D_{22}+D_{33}+D_{44}}}={\sqrt {\operatorname {tr} \left[\left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}\right]}}}$

类似地，还可定义与其他误差项关联的精度衰减因子，如与点位误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{P}}}$ 相关的点位精度衰减因子（英語：，缩写：PDOP）、与平面误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{H}}}$ 相关的平面精度衰减因子（英語：，缩写：HDOP）、与高程误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{V}}}$ 相关的高程精度衰减因子（英語：，缩写：VDOP）、与接收机钟差误差 ${\displaystyle \sigma _{\text{T}}}$ 相关的时间精度衰减因子（英語：，缩写：TDOP）等等：[3][5]

• ${\displaystyle {\text{PDOP}}={\frac {\sigma _{\text{P}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\frac {\sqrt {\sigma _{e_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{n_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{u_{\text{r}}}^{2}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\sqrt {D_{11}+D_{22}+D_{33}}}}$
• ${\displaystyle {\text{HDOP}}={\frac {\sigma _{\text{H}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\frac {\sqrt {\sigma _{e_{\text{r}}}^{2}+\sigma _{n_{\text{r}}}^{2}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\sqrt {D_{11}+D_{22}}}}$
• ${\displaystyle {\text{VDOP}}={\frac {\sigma _{\text{V}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\frac {\sigma _{u_{\text{r}}}^{2}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\sqrt {D_{33}}}}$
• ${\displaystyle {\text{TDOP}}={\frac {\sigma _{\text{T}}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\frac {\sigma _{dt_{\text{r}}}^{2}}{\sigma _{\text{UERE}}}}={\sqrt {D_{44}}}}$

由各表达式可以得出，上述DOP间满足如下关系：

${\displaystyle {\text{GDOP}}={\sqrt {{\text{PDOP}}^{2}+{\text{TDOP}}^{2}}}={\sqrt {{\text{HDOP}}^{2}+{\text{VDOP}}^{2}+{\text{TDOP}}^{2}}}}$

当四颗卫星中的一颗卫星处在天顶，另外三颗卫星平均分布在截止高度角 ${\displaystyle E}$ 所定义的等高圈上时，取得的DOP值随截止高度角的变化情况。GDOP值和PDOP值在 ${\displaystyle E=-19.47^{\circ }}$ 时最小，HDOP值在 ${\displaystyle E=0^{\circ }}$ 时最小。

当卫星数量为4时，设计矩阵 ${\displaystyle \mathbf {H} }$ 是一个方阵。取一颗卫星位于天顶处，其他三颗卫星围绕截止高度角 ${\displaystyle E}$ 所在的等高圈间隔120°均匀分布，此时设计矩阵 ${\displaystyle \mathbf {H} }$ 中的各项元素为：[1]

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\cos {E}&0&\sin {E}&1\\-\displaystyle {\frac {1}{2}}\cos {E}&\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{4}}}\cos {E}&\sin {E}&1\\-\displaystyle {\frac {1}{2}}\cos {E}&-\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{4}}}\cos {E}&1&1\\0&0&\sin {E}&1\\\end{pmatrix}}}$

可计算出矩阵 ${\displaystyle \left(\mathbf {H} ^{\text{T}}\mathbf {H} \right)^{-1}}$ 中，对角线上的各项元素为：

• ${\displaystyle D_{11}=D_{22}={\frac {2}{3}}\sec ^{2}{E}}$
• ${\displaystyle D_{33}={\frac {4}{3}}\left(\cos ^{2}{\frac {E}{2}}-\sin ^{2}{\frac {E}{2}}\right)^{-4}}$
• ${\displaystyle D_{44}={\frac {1}{6}}\left(\cos ^{2}{\frac {E}{2}}-\sin ^{2}{\frac {E}{2}}\right)^{-4}\left(5-3\cos {2E}\right)}$

该条件下计算出各DOP值的函数图像如右图所示。当 ${\displaystyle E>0}$ 时，GDOP值和PDOP值的随 ${\displaystyle E}$ 的下降而逐渐减小，这一趋势一直维持到 ${\displaystyle E=\sin ^{-1}(-1/3)=-19.47^{\circ }}$ 时。当 ${\displaystyle E=-19.47^{\circ }}$ 时，位于同一平面上的三颗卫星与天顶处的卫星组成了一个正四面体，其体积相较于其他情况下组成的图形是最大的，此时最小的GDOP值为 ${\displaystyle {\sqrt {5/2}}=1.5811}$。当 ${\displaystyle E}$ 继续下降时，GDOP值与PDOP值逐渐缓慢增大，而VDOP与TDOP值继续减小。HDOP值则在 ${\displaystyle E=0^{\circ }}$ 处取得最小值 ${\displaystyle {\sqrt {4/3}}=1.154}$。