質數間隙

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為g_n 或g(p_n)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\

质数间隙的频率分布。

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由質數間隙組成的數列(g_n) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定義，可得g_n 及第n+1個質數的關係式如下：

p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}

.

張益唐在2013年證明說，存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬，之後於同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精進版的GPY篩法將張益唐的七千萬改進至600，而由陶哲轩发起的Polymath計畫將這數字降到246。[1]

簡單觀察

第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在唯一「一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g₂ 及g₃ 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得g_n ≥ P。（可選定n，使得p_n為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。

實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。

孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 g_n = 2。

另見

孪生质数猜想

參考資料

. Polymath. [2013-07-21]. （原始内容存档于February 28, 2020）.

Guy, Richard K. 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

外部連結

Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
. PlanetMath.
Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture （页面存档备份，存于）, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
Chris Caldwell, Gaps Between Primes （页面存档备份，存于）; an elementary introduction
www.primegaps.com （页面存档备份，存于） A study of the gaps between consecutive prime numbers
Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length （页面存档备份，存于）; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

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[polymath-1] . Polymath. [2013-07-21]. （原始内容存档于February 28, 2020）.