紧致元素

在偏序集合 (P,≤) 中，元素 c 被称为是紧致的(或有限的)，如果它满足下列等价的条件中的一个:

• 对于 P 的所有非空有向子集 D，如果 D 有上确界 sup(D) 且 c ≤ sup(D) ，则有 D 的某个元素 d 使得 c ≤ d。
• 对于 P 的所有理想 I，如果 I 有上确界 sup(I) 且 c ≤ sup(I)，则 c 是 I 的一个元素。

如果此外偏序集合 P 还是并半格 (就是说它有二元上确界)则这些条件等价于声称:

• 对于 P 的任何非空子集 S，如果 S 有上确界 sup(S) 且 c ≤ sup(S)，则有 S 的某个有限子集 T 使得 c ≤ sup(T)。

特别是，如果 c = sup(S)，则 c 是 S 的有限子集的上确界。

从定义涉及的概念可轻易的验证等价性。对并半格的情况要注意任何集合通过闭合在有限(非空)上确界下变成带有相同上确界的有向集合。

在考虑有向完全偏序或完全格的时候，规定上确界存在的额外的要求可以去掉。还要注意是有向完全的并半格几乎就是完全格(可能缺乏最小元) -- 详情参见完全性 (序理论)。

如果存在的话，偏序集合的最小元总是紧致的。它可能是唯一的紧致元素，比如实数的单位区间 [0,1]。

• 最基本的例子是某个集合的幂集按照集合包含排序。在完全格中，紧致元素精确的就是有限集合。这个名字“有限元素”的来源。

• 术语“紧致”来自某个拓扑空间的开集的完全格。在这个次序内，紧致元素就是紧集。实际上，在并半格中的紧致性的条件立即转换成对应的定义。

所有元素都是其下紧致元素的上确界的偏序集合叫做“代数偏序集合”。这种偏序集合是在域理论中最常用的有向完全偏序集合。“代数格”是完全格 L，如果 L 的所有元素 x 是在 x 下的紧致元素的上确界。典型例子(体现了名字“代数”的动机)为如下:

对于任何代数 A (比如，群、环、域、格等；甚至是没有任何运算的单纯的集合)，设 Sub(A) 是 A 的所有子结构的集合，就是说在 A 的所有运算(群加法，环加法和乘法等)下保持封闭的所有子集的集合。这里的子结构概念包括在代数 A 有零元运算的情况下的空子结构。

那么:

• 集合 Sub(A) 按集合包含排序是个格。
• Sub(A) 的最大元是集合 A 自身。
• 对于 Sub(A) 中任何 S 和 T，S 和 T 的最大下界是 S 和 T 的集合意义下的交集；最小上界是 S 和 T 的并集生成的子代数。
• 集合 Sub(A) 是完全格。任何子集的族的最大下界是它们的交集。
• Sub(A) 的紧致元素精确是 A 的有限生成的子结构。
• 所有子结构都是它的有限生成的子结构的并集；因此 Sub(A) 是代数格。

还有一个逆命题成立: 所有代数格同构于某个代数 A 的 Sub(A)。

有另一个代数格在泛代数中扮演重要角色: 对于所有代数 A 我们设 Con(A) 是在 A 上所有同余关系的集合。在 A 上的每个同余都是积代数 A×A 的一个子代数，所以 Con(A) ⊆ Sub(AxA)。我们有着

• Con(A) 按集合包含排序是个格。
• Con(A) 的最大元素是集合 A×A，它是对应于恒(constant)同态的同余。最小同余是 A×A 的对角线，对应于同构。
• Con(A) 是完全格。
• Con(A) 的紧致元素精确的是有限生成的同余。
• Con(A) 是代数格。

还有一个逆命题成立: 通过 G. Grätzer 和 E.T.Schmidt 的一个定理，所有代数格同构于某个代数 A 的 Con(A)。

紧致元素在计算机科学中的叫做域理论的形式语义方法中很重要，这里它们被认为是某种基本元素: 紧致元素表示的信息不能通过从未包含这个知识的任何逼近来获得。紧致元素不能从严格低于它们的元素逼近。在另一方面，碰巧会有所有非紧致元素可以获得为紧致元素的上确界。这是需要的情况，因为紧致元素的集合经常小于最初的偏序集合 – 上面的例子就是展示。

参见序理论和域理论中给出的文献。