紧致开拓扑

设 X、Y 为两个拓扑空间，令C(X, Y) 为所有从X 射到 Y 上的连续映射的集合。对于X 中的一个紧集K 和 Y 中的一个开集U，设V(K, U) 为集合 C(X, Y)中所有使得f(K)属于 U 的映射的集合。所有的V(K, U) 构成紧致开拓扑的一个子基（但一般不构成C(X, Y)上的一个拓扑基）。

• 如果 * 是一个单点空间，那么可以将C(*, X) 等同于 X。在这种情况下，C(*, X) 上面的紧致开拓扑就等同于X 上的拓扑。
• 如果Y 是T₀空间、T₁空间、豪斯多夫空间、正则空间或者吉洪诺夫空间的话，那么对应的紧致开拓扑满足分离公理。
• 如果 X 是豪斯多夫空间，并且S 是Y 的一个子基，那么集合${\displaystyle \left\{V(K,U):U\in S\right\}}$ 是 C(X, Y) 上的紧致开拓扑的一个子基。
• 如果 Y 是一致空间（特别来说，如果 Y 是一个度量空间），那么其对应的紧致开拓扑等价于紧收敛拓扑。换句话说，如果 Y 是一致空间的话，那么一个函数序列 {f_n}在紧致开拓扑上收敛到一个极限（设为 f）当且仅当对 X 所有的紧子集 K，{f_n} 都在K 上一致收敛到 f。特别地，如果 X 是紧集，而 Y 是一致空间，那么其对应的紧致开拓扑等价于基于一致收敛的拓扑。
• 如果 X、Y 和 Z 是三个拓扑空间，其中Y 是局部豪斯多夫紧致的（或者仅仅是准正则的），那么由关系：(f, g) ${\displaystyle \mapsto }$ fog 所给出的复合映射 C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z) 是连续的（这里所有的映射空间都使用相应的紧致开拓扑，而 C(Y, Z) × C(X, Y)上的是积拓扑）。
• 如果 Y 是局部豪斯多夫紧致的（或者仅仅是准正则的），那么赋值函数e : C(Y, Z) × Y → Z（定义为e(f, x) = f(x)）是连续函数。这可以看成上一个性质在X 为单点空间时的特例。
• 如果 X 是紧空间，Y 是装备有距离 d 的度量空间，那么C(X, Y) 上的紧致开映射是可度量的，并且其上的距离由函数 ${\displaystyle e(f,g)=\sup \left\{d(f(x),g(x)):x\in X\right\}}$ 所给出。

• 有界开拓扑

• Dugundji, James. . Boston, Massachusetts: Allyn and Bacon. 1966. ISBN B000-KWE22-K.
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev (2007) Textbook in Problems on Elementary Topology （页面存档备份，存于）.
• . PlanetMath.