編號 (可計算性理論)

集合${\displaystyle S}$的一個編號是由${\displaystyle \mathbb {N} }$到${\displaystyle S}$的，滿的偏函數[2]^:477。編號${\displaystyle \nu }$在數字${\displaystyle i}$的取值（若有定義）一般以${\displaystyle \nu _{i}}$表示（而不是常見的函數表示${\displaystyle \nu (i)}$）。

編號的例子有：

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$所有有限子集構成的集合上，可定義編號${\displaystyle \gamma }$，其中${\displaystyle \gamma (0)=\emptyset }$，而且對任意有限非空集合${\displaystyle A=\{a_{0},\ldots ,a_{k}\}}$，${\displaystyle \gamma (n_{A})=A}$，其中${\displaystyle n_{A}=\sum _{i\leq k}2^{a_{i}}}$ [2]^:477。該編號是一個（偏的）雙射。
• 在偏可計算函數集上，給定一哥德爾編號${\displaystyle i\mapsto \varphi _{i}}$，可以定義遞歸可枚舉集合的編號${\displaystyle W}$，其中${\displaystyle W(i)}$是 ${\displaystyle \varphi _{i}}$的定義域。該編號是滿射（所有編號都是）但不是單射：不同的數可能經${\displaystyle W}$映射到同一個遞歸可枚舉集合上。

如果一個編號是全函數，則它是全的[3]^:98。如果偏編號的定義域是遞歸可枚舉的話，則必存在等價的全編號，等價性的定義將在下節給出。

若集合${\displaystyle \{(x,y):\eta (x)=\eta (y)\}}$可判定，則編號${\displaystyle \eta }$可判定。

如果${\displaystyle \eta (x)=\eta (y)}$當且僅當${\displaystyle x=y}$，則編號${\displaystyle \eta }$是單值的[3]^:98；換言之，${\displaystyle \eta }$是一個單射函數。偏可計算函數構成的集合上的單值編號又稱費德伯格編號。

所有編號構成的集合上可以定義預序。令${\displaystyle \nu _{1}:\mathbb {N} \rightharpoonup S}$和${\displaystyle \nu _{2}:\mathbb {N} \rightharpoonup S}$是兩編號，則${\displaystyle \nu _{1}}$可歸約到${\displaystyle \nu _{2}}$，記為${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2}}$，當且僅當存在一元偏可計算函數${\displaystyle f}$，使得

${\displaystyle \forall i\in \mathrm {Domain} (\nu _{1}):\nu _{1}(i)=\nu _{2}\circ f(i)}$。[3]^:100

若${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2}}$而且${\displaystyle \nu _{1}\geq \nu _{2}}$，則${\displaystyle \nu _{1}}$等價於${\displaystyle \nu _{2}}$，記為${\displaystyle \nu _{1}\equiv \nu _{2}}$。[3]^:100

如果被編號的對象${\displaystyle S}$足夠「可構」，人們常常會考慮能高效解碼的編號[2]^:486。例如，若集合${\displaystyle S}$遞歸可枚舉，則編號${\displaystyle \eta }$是可計算的當且僅當滿足${\displaystyle y\in \eta (x)}$的二元組${\displaystyle (x,y)}$構成的集合遞歸可枚舉。類似地，偏函數的編號${\displaystyle g}$是可計算的當且僅當關係${\displaystyle R(x,y,z)=}$「${\displaystyle [g(x)](y)=z}$」是偏遞歸的[2]^:487。

若某集合上任意可計算編號都可歸約到特定編號，則稱該特定編號為主的。所有${\displaystyle \mathbb {N} }$的遞歸可枚舉子集以及所有偏可計算函數都有主編號[2]^:487。偏遞歸函數上的主編號又稱為可接受編號。

• 完備編號
• 圓柱化
• 哥德爾數