线谱对

线谱多项式${\displaystyle A(z)=1-\sum _{k=1}^{p}a_{k}z^{-k}}$可写作${\displaystyle A(z)=0.5[P(z)+Q(z)]}$，其中：

• ${\displaystyle P(z)=A(z)+z^{-(p+1)}A(z^{-1})}$
• ${\displaystyle Q(z)=A(z)-z^{-(p+1)}A(z^{-1})}$

根据构造，P是回文多项式，Q是反回文多项式；物理上，P(z)对应声门关闭时的声道，Q(z)则对应声门打开时的声道。[5]可证明：

• P、Q零点位于复平面中的单位圆。
• 绕圆运动时，P与Q的根交替出现。
• 由于P、Q系数都是实数，因此根以共轭对的形式出现。

LP多项式的线谱对表示简单地包含了P、Q根的位置（即使${\displaystyle z=e^{i\omega },P(z)=0}$的${\displaystyle \omega }$）。由于根成对出现，因此只需传输一半的根（一般${\displaystyle \in (0,\ \pi )}$）。因此，P与Q的系数总数等于原LP系数数p（不计${\displaystyle a_{0}=1}$）。 确定系数的常用算法[6]是在单位圆上间隔较近的点串上求多项式值，观察结果何时变号；变号时，根必定位于测试点之间。由于P与Q的根穿插在一起，因此只要一次就能找到两个多项式的根。

要转回LPC，就要计算${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$的根。下面只考虑线性预测多项式${\displaystyle A(z)}$阶数为偶数${\displaystyle N}$的情形，这时LSP多项式的${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$为${\displaystyle N+1}$多项式。

LSP多项式的${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$可分别被${\displaystyle (1+z^{-1})}$、${\displaystyle (1-z^{-1})}$整除，剩余多项式用${\displaystyle (z+z^{-1})/2}$除，在单位圆上可表为${\displaystyle (z+z^{-1})/2=\cos \omega }$。即，${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$可进行如下因式分解：

${\displaystyle P(z)=\left(1+z^{-1}\right)\prod _{i=1,3,...,N-1}\left(1-2\cos \omega _{i}z^{-1}+z^{-2}\right)}$

${\displaystyle Q(z)=\left(1-z^{-1}\right)\prod _{i=2,4,...,N}\left(1-2\cos \omega _{i}z^{-1}+z^{-2}\right)}$

求出该式的根，便能计算线谱对${\displaystyle \omega _{i}}$。更具体地，如下[7]</ref> [8][9]：

(1) 由线性预测系数${\displaystyle a_{i}}$计算${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$各系数

由${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$的定义，用下式计算。多项式系数${\displaystyle p_{i},q_{i}}$，

${\displaystyle p_{0}=p_{N+1}=1\,}$

${\displaystyle p_{i}=p_{N-i+1}=a_{i}+a_{N-i+1}\,}$

${\displaystyle q_{0}=-q_{N+1}=1\,}$

${\displaystyle q_{i}=-q_{N-i+1}=a_{i}-a_{N-i+1}\,}$

(2) ${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$分别除以${\displaystyle (1+z^{-1})}$、${\displaystyle (1-z^{-1})}$

相当于从单位圆上的根上除去实根。

此多项式除法可通过系数加减来计算。将商式系数记作${\displaystyle p',q'}$，

${\displaystyle p'_{0}=1\,}$

${\displaystyle p'_{i}=p_{i}-p'_{i-1}\,}$

${\displaystyle q'_{0}=1\,}$

${\displaystyle q'_{i}=q_{i}+q'_{i-1}\,}$

(3) 商式${\displaystyle P'(z),\ Q'(z)}$用${\displaystyle x=(z+z^{-1})/2}$置换变量

相当于剩余复共轭根在实轴上的投影。置换后的式子可用切比雪夫多项式表示[8]。

${\displaystyle P'(z),\ Q'(z)}$是关于${\displaystyle x}$的${\displaystyle N/2}$次多项式，系数可从${\displaystyle p',\ q'}$机械计算。

(4) 用牛顿-拉弗森法解${\displaystyle x}$的两个方程

在区间<math(-1,\ 1)</math>内，根${\displaystyle x_{i}}$交替存在，则可交替求解两个方程。

(5) 由求得的根计算线谱${\displaystyle \omega _{i}}$

由求得的N个根${\displaystyle x_{i}}$求下式中的${\displaystyle \omega _{i}}$：

${\displaystyle \omega _{i}=\arccos(x_{i})\,}$

将线谱对变换为线性预测系数时更简单，与上述相反，从线谱对${\displaystyle \omega _{i}}$求${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$各系数即可：

${\displaystyle A(z)={\frac {1}{2}}\left(P(z)+Q(z)\right)}$

${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$各系数为${\displaystyle (1-2\cos \omega _{i}z^{-1}+z^{-2})}$形式的二次多项式的积，进而可作为乘以${\displaystyle (1\pm z^{-1})}$的式子的系数，可以机械计算。

${\displaystyle P(z),\ Q(z)}$的系数有对称性，因此能从${\displaystyle N/2}$次系数通过以下公式变换为线性预测系数[9]：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a_{i}&=&{\frac {1}{2}}\left(p_{i}+q_{i}\right)\\a_{N-i+1}&=&{\frac {1}{2}}\left(p_{i}-q_{i}\right)\end{array}}}$

线谱对有几个有趣而有用的性质。P(z)、Q(z)的根交错排列时，只有根单调递减，滤波器的稳定性才有保证。另外，两个根越近，滤波器在相应频率上的谐振就越大。由于LSP对量化噪声不过分敏感，因此被广泛用于量化LPC滤波器。线谱频率可以内插。

• 对数面积比

• Speex manual （页面存档备份，存于） and source code (lsp.c)
• "The Computation of Line Spectral Frequencies Using Chebyshev Polynomials" （页面存档备份，存于）/ P. Kabal and R. P. Ramachandran. IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 34, no. 6, pp. 1419–1426, Dec. 1986.

Includes an overview in relation to LPC.

• "Line Spectral Pairs" chapter （页面存档备份，存于） as an online excerpt (pdf) / "Digital Signal Processing - A Computer Science Perspective" (ISBN 0-471-29546-9) Jonathan Stein.