组合子逻辑

组合子项是下列形式之一：

• v
• P
• (E1 E2)

这里的v是一个变量，P是基本函数之一，而E1和E2是组合子项。基本函数自身是组合子，或不包含自由变量的函数。

组合子的最简单的例子是I，恒等组合子，定义为

(I x) = x

对于所有的项x。另一个简单的组合子是K，制造常量函数：(K x)是对于任何参数都返回x的函数，所以我们定义

((K x) y) = x

对于所有的项x和y。或者，服从同lambda演算中多重应用同样的约定，

(K x y) = x

第三个组合子是S，它是应用的一般化版本：

(S x y z) = (x z (y z))

S首先将z分别代换到x和y，然后再将两个结果进行应用操作。

给出S和K，I自身就不是必须的了，因为可以建造自其他两个：

((S K K) x)

=(S K K x)

= (K x (K x))

= x

对于任何的项x。注意尽管((S K K)x) = (I x)对于任何x，(S K K)自身不等于I。我们称这种项是外延相等的。外延相等捕获了函数的等式的数学概念：两个函数是相等的，如果它们对于相同的参数总是生成相同的结果。相反的，项自身捕获了函数的内涵相等的概念：两个函数是相等的，当且仅当它们有相同的实现。有很多实现恒等函数的方式；(S K K)和I是其中的方式，(S K S)也是。我们将使用词等价来指示外延相等，保留等于给同一的组合子项。

更有趣的组合子是不动点组合子或Y组合子，它可以用来实现递归。

可能会令人惊奇，事实上S和K可以组合起来生成外延相等于任何lambda项的组合子，所以依据邱奇-图灵论题，等价于任何可计算的函数。证明是提出一个变换T[ ]，它转换一个任意的lambda项到等价的组合子。

T[ ]可定义如下：

1. T[V] = > V
2. T[(E1 E2)] = >(T[E1] T[E2])
3. T[λx.E] = > (K T[E])（如果x在E中没有自由出现）
4. T[λx.x] = > I
5. T[λx.λy.E] = > T[λx.T[λy.E]]（如果x在E中自由出现）
6. T[λx.(E1 E2)] =>（S T[λx.E1] T[λx.E2]）

例如，我们可以转换λx.λy.(y x)为组合子：

T[λx.λy.(y x)]

= T[λx.T[λy.(y x)]]（通过5）

= T[λx.(S T[λy.y] T[λy.x])]（通过6）

= T[λx.(S I T[λy.x])]（通过4）

= T[λx.(S I (K x))]（通过3）

= (S T[λx.(S I)] T[λx.(K x)])（通过6）

= (S (K (S I)) T[λx.(K x)])（通过3）

= (S (K (S I)) (S T[λx.K] T[λx.x]))（通过6）

= (S (K (S I)) (S (K K) T[λx.x]))（通过3）

= (S (K (S I)) (S (K K) I))（通过4）

如果我们应用这个组合子于任何两个项x和y，它可以归约到如下：

(S (K (S I)) (S (K K) I) x y)

= (K (S I) x (S (K K) I x) y)

= (S I (S (K K) I x) y)

= (I y (S (K K) I x y))

= (y (S (K K) I x y))

= (y (K K x (I x) y))

= (y (K (I x) y))

= (y (I x))

=(y x)

组合子表示 (S (K (S I)) (S (K K) I))比相应的lambda项λx.λy.(y x)要长很多，这是典型的。一般的，T[ ]构造可以把长度为n的lambda项展开为长度为Θ（3ⁿ）的组合子项。

T[ ]变换的目的是要消除抽象。两个特殊情况，规则3和4是平凡的：λx.x明显等价于I，而λx.E明显等价于（K E），如果x在E中不是自由出现的。

前两个规则也是简单的：变量转换为自身；通过简单的转换applicand和参数到组合子，把在组合子项中允许的应用转换为组合子。

有趣的是规则5和6。规则5简单的声称要转换一个复杂的抽象为组合子，我们必须首先把它的主体转换成组合子，接着消除这个抽象。规则6实际上消除这个抽象。

λx.(E1 E2)是一个函数，它接受一个参数比如a，并把它代换到lambda项 (E1 E2)中x的位置上，生成 (E1 E2)[x : = a]。但是代换a到 (E1 E2)中x的位置上同于代换它到E1和E2二者中，所以

(E1 E2)[x := a] =(E1[x := a] E2[x := a])

(λx.(E1 E2) a) = ((λx.E1 a) (λx.E2 a))

=(S λx.E1 λx.E2 a)

= ((S λx.E1 λx.E2) a)

通过外延相等，

λx.(E1 E2) =(S λx.E1 λx.E2)

所以，要找到等价λx.(E1 E2)的组合子，找到等价于 (S λx.E1 λx.E2)的组合子就足够了，而

(S T[λx.E1] T[λx.E2])

显然合适。E1和E2每个都包含严格的比 (E1 E2)更少的应用，所以递归必定终止于根本没有应用的lambda项之上---要么是一个变量，要么是形如λx.E的项。

通过T[ ]变换生成的组合子可以做的更小，如果我们采用η-归约规则：

T[λx.(E x)] = T[E]（如果x在E中不是自由的）

λx.(E x)是一个函数，它接受一个参数x并应用函数E于它之上；这外延相等于函数E自身。因此足够转换E到组合子形式。

采用这种简化，上面的例子变成：

T[λx.λy.(y x)]

= ...

= (S (K (S I)) T[λx.(K x)])

= (S (K (S I)) K) （通过η-归约）

这个组合子等价于早先的更长的那个：

(S (K (S I)) K x y)

= (K (S I) x (K x) y)

= (S I (K x) y)

= (I y (K x y))

= (y (K x y))

=(y x)

类似的，T[ ]变换的最初版本把恒等函数λf.λx.(f x)变换成 (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))。通过η-归约规则，λf.λx.(f x)被变换成I。

有一点基（one point basis），所有组合子都可从它复合而外延等于任何lambda项。这种基的最简单的例子是{X}:

X ≡ λx.((xS)K)

不难验证：

X (X (X X)) =^ηβ K而

X (X (X (X X)))) =^ηβ S.

因为{K, S}是基，得出{X}也是基。

除了组合子S和K之外，Schönfinkel的著作中包含了现在叫做B和C的两个组合子，带有如下归约：

(C a b c) =(a c b)

(B a b c) = (a (b c))

他还解释了如何只使用S和K来表达它们。

这些表达式在把谓词逻辑或lambda演算转换成组合子表达式的时候非常有用。它们也被Curry和更后来的David Turner所使用，他们的名字已经关联到了它们的应用上了。使用这些组合子，我们可以扩展变换规则为如下：

1. T[V] = > V
2. T[(E1 E2)] = >(T[E1] T[E2])
3. T[λx.E] = > (K T[E]) （如果x在E中不是自由的）
4. T[λx.x] = > I
5. T[λx.λy.E] = > T[λx.T[λy.E]]（如果x在E中是自由的）
6. T[λx.(E1 E2)] => (S T[λx.E1] T[λx.E2])（如果x在E1和E2二者中是自由的）
7. T[λx.(E1 E2)] => (C T[λx.E1] E2)（如果x在E1中是自由的，但在E2中不是自由的）
8. T[λx.(E1 E2)] => (B E1 T[λx.E2])（如果x在E2中是自由的，但在E1中不是自由的）

使用B和C组合子，λx.λy.(y x)的变换如下：

T[λx.λy.(y x)]

= T[λx.T[λy.(y x)]]

= T[λx.(C T[λy.y] x)] （通过规则7）

= T[λx.(C I x)]

= (C I) （η-归约）

= C_*（传统规范记号：X_* = X I）

= I'（传统规范记号：X' = C X）

(C I x y)的确归约到 (y x):

(C I x y)

=(I y x)

=(y x)

B和C的目的是S的有限版本。S接受一个值，并把在应用之前，把它代换入applicand和它的参数内，C只在applicand内进行代换，而B只在参数内进行代换。

这些组合子的现代名字源于哈斯凱爾·加里在1930年的博士论文（参见B,C,K,W系统）。在Schönfinkel的最初著作中，把现在的S, K, I, B和C分别叫做S, C, I, Z和T。

在本文描述的CL_K和CL_I演算必须做出区分。这种区别对应于在λ_K和λ_I演算之间的区别。不同于λ_K演算，λ_I演算限制抽象为：

λv.E1这里的v在E1中有至少一次自由出现。

作为结论，组合子K不出现在λ_I演算和CL_I演算中。CL_I的常量有：I, B, C和S，这形成了所有CL_I项可以从它复合出来的基，B和C模拟K。所有λ_I项可以转换成等价的CL_I组合子，依据类似于前面提供的把λ_K项转换成CL_K组合子的规则。参见Barendregt (1984)第9章。

从组合子项到lambda项的转换L[ ]是平凡的：

L[I] = λx.x

L[K] = λx.λy.x

L[C] = λx.λy.λz.(x z y)

L[B] = λx.λy.λz.(x (y z))

L[S] = λx.λy.λz.(x z (y z))

L[(E1 E2)] =（L[E1] L[E2]）

但是，要注意这个变换不是我们见到的任何版本的T[ ]的逆变换。

函数式编程语言经常基于lambda演算的简单而普遍的语义。

David Turner使用它的组合子实现了SASL编程语言。

Kenneth E. Iverson在他的J编程语言中使用了基于Curry的组合子的原语（primitive），J语言是APL语言的后继者。这使得Iverson达成了隐式编程，就是说，编程采用不包含变量的函数表达式，并一起使用与这种程序共同工作的强力工具。结果是在任何带有用户定义算子的类APL语言中隐式编程都是可能的[2]。

Curry-Howard同构蕴涵了在逻辑和编程之间的联系：每个直觉逻辑的有效的定理证明都直接对应于一个有类型的lambda项的归约，反之亦然。定理自身也通过函数类型标志（signature）来识别。特别是，有类型的组合子逻辑对应于证明论中的希尔伯特系统。

K和S组合子对应于公理

AK: A → (B → A),

AS: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)),

而函数应用对应于肯定前件规则

MP:从A且A → B推出B。

由AK, AS和MP组成的演算对于直觉逻辑的蕴涵片段是完备的。考虑所有演绎闭合的公式的集合W，按包含排序。则${\displaystyle \langle W,\subseteq \rangle }$是直觉Kripke框架，我们定义在这个框架内的模型${\displaystyle \langle W,\subseteq ,\Vdash \rangle }$为

${\displaystyle X\Vdash A\iff A\in X.}$

这个定义服从对→的满足的条件：在一方面，如果${\displaystyle X\Vdash A\to B}$，并且${\displaystyle Y\in W}$使得${\displaystyle Y\supseteq X}$且${\displaystyle Y\Vdash A}$，则通过肯定前件而${\displaystyle Y\Vdash B}$。在另一方面，如${\displaystyle X\not \Vdash A\to B}$，则通过演绎定理而${\displaystyle X,A\not \vdash B}$，因此${\displaystyle X\cup \{A\}}$的演绎闭包是${\displaystyle Y\in W}$的一个元素使得${\displaystyle Y\supseteq X}$, ${\displaystyle Y\Vdash A}$和${\displaystyle Y\not \Vdash B}$。

设A是在演算中不能证明的任何公式。则A不属于非空集合的演绎闭包X，所以${\displaystyle X\not \Vdash A}$，而A不是直觉有效的。