结合律

形式上，一个在集合${\displaystyle S}$上的二元运算${\displaystyle *}$被称之为可结合的若其满足下面的结合律：

${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in S}$。

运算的順序并不会影响到表示式的值，且可證明这在含有「任意」多个${\displaystyle \ast }$运算的表示式之下也依然是成立的。因此，當${\displaystyle \ast }$是可结合的时，運算的順序可以不需要去规范而不会使其意義不清，所以可以省略掉括号而简單写成：

${\displaystyle x*y*z.\,}$

不过，需要记住的是，改变运算的順序并不包含或允许以移动表示式中的运算元來改变其真实的运算。

一些可結合的運算的例子如下。

• 在算術中，實數的加法和乘法都是可結合的，即：

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {R} .}$

• 複數和四元數的加法與乘法是可結合的。八元數的加法也是可結合的，但其乘法則是不可結合的。

• 最大公因數和最小公倍數的運算都是可結合的。

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

• 因為線性變換是個可表示成矩陣的函數，其中的函數複合則可以用矩陣乘法來表示，立即可知矩陣乘法為可結合的。

• 集合的交集和聯集為可結合的：

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}\forall A,B,C.}$

• 若${\displaystyle M}$是某個集合且${\displaystyle S}$為所有從${\displaystyle M}$映射至${\displaystyle M}$的函數所組成的集合，則在${\displaystyle S}$上的函數複合的運算是可結合的：

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad \forall f,g,h\in S}$。

• 更一般性地，給定四個集合${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle P}$和${\displaystyle Q}$，且${\displaystyle h:M\to N,g:N\to P}$、${\displaystyle f:P\to Q}$，則

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}$

和前面一樣。簡單地說，映射的複合總會是可結合的。

• 給定一個有三個元素${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$的集合，其運算如下：

${\displaystyle +}$
${\displaystyle \times }$	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

是可結合的。不過，此運算不是可交換的。

一個在集合${\displaystyle S}$上的二元運算*若不滿足結合律，則稱之為不可結合的。表示成符號即為：

${\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad \exists x,y,z\in S}$。

在此一運算下，運算的順序是有影響的。減法、除法和冪都是不可結合運算的簡單例子：

${\displaystyle {\begin{matrix}(5-3)-2\neq 5-(3-2)\quad \\(4/2)/2\neq 4/(2/2)\qquad \qquad \\2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}.\quad \qquad \qquad \end{matrix}}}$

一般，當不可結合運算在一個表示出現多於一次時，括號就必須被使用來表示其運算順序。不過，數學家會對若干常見的不可結合運算採用一種特別的運算順序的規則。這單純只是個為了減少括號的語法約定。

• 半群是一個有著封閉可結合二元運算的集合。
• 交換律和分配律是另兩個在二元運算中常被討論的性質。
• 遞移關係
• 冪結合性和可代替性是兩個弱型式的結合律。